水文一篇:空间中三个平面的位置关系

我们来探究空间直角坐标系中的三个平面 $p_1,p_2,p_3$ 的各种情形.我们不考虑三个平面中任意两个平面重合的情形.最简单的情形是三个平面两两互相平行.此时,设 $p_1$ 的方程为
$$
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1.
$$
设 $p_2$ 的方程为
$$
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_2.
$$
设 $p_3$ 的方程为
$$
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_3.
$$
且 $b_1,b_2,b_3$ 两两互不相等.我们知道,
$$
\begin{cases}
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1.\\  
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_2.\\
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_3.\\
\end{cases}
$$
无解,这和三个平面没有公共交点的几何直观是相符的.而且方程组
$$
\begin{cases}
  a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1\\
a_{11}x+a_{12}y+a_{12}z=b_2\\
\end{cases}
$$
以及其余两个类似的方程组也没有解,这与任意两个平面无交点的几何直观是符合的.第二种情形是三个平面里两个平面相交,第三个平面与其中一个平面相交,与另外一个平面平行.此时,设 $p_1$ 的方程为
$$
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1.
$$
设 $p_2$ 的方程为
$$
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_2.
$$
其中 $b_1\neq b_2$.设 $p_3$ 的方程为
$$
a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3.
$$
显然,线性方程组
$$
\begin{cases}
  a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1\\
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_2\\
a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\\
\end{cases}
$$
无解.但是无论是线性方程组
$$
\begin{cases}
  a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1\\
a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\\
\end{cases}
$$
还是线性方程组
$$
\begin{cases}
  a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_2\\
a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\\
\end{cases}
$$
都有解(肯定都是无限个解).还有一种可能是三个平面两两相交,但是三个平面不同时相交.此时,设
$$
p_1:a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1,
$$
$$
p_2:a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2,
$$
$$
p_3:a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3.
$$
则方程组
$$
\begin{cases}
  a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1\\
a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2\\
a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\\
\end{cases}
$$
无解.但是这三个方程中任意两个方程联立都有解.最后一种可能是三个平面交于一点,此时设
$$
p_1:a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1,
$$
$$
p_2:a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2,
$$
$$
p_3:a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3.
$$
则方程组
$$
\begin{cases}
  a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1\\
a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2\\
a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\\
\end{cases}
$$
有惟一解.