《常微分方程,王高雄》 习题 1.5,1.8(2)

5.求下列两个微分方程的公共解.
$$
y'=y^2+2x-x^4,y'=2x+x^2+x^4-y-y^2.
$$
解:将两个微分方程联立,则
$$
\begin{cases}
  y'=y^2+2x-x^4\\
y'=2x+x^2+x^4-y-y^2\\
\end{cases}
$$
于是,对于任意的 $x_0$,我们都有
$$
\begin{cases}
  y'(x_0)=y^2(x_0)+2x_0-x_0^4\\
y'(x_0)=2x_0+x_0^2+x_0^4-y(x_0)-y^2(x_0)\\
\end{cases}
$$
于是,$y^2(x_0)+2x_0-x_0^4=2x_0+x_0^2+x_0^4-y(x_0)-y^2(x_0)$,则$-2(y(x_0)+x_0^2)(y(x_0)-x_0^2)=y(x_0)-x_0^2$.可见, $y(x_0)=x_0^2$ 和 $y(x_0)=-\frac{1}{2}-x_0^2$.于是,微分方程的公共解为 $y=x^2$ 或$y=-\frac{1}{2}-x^2$.

8(2).曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长 $l$.

解:设曲线为 $f(x,y)=0$.则以 $p$ 轴为横坐标,$m$ 轴为纵坐标,则过点 $(x,y)$ 的切线方程为
$$
m-y=\frac{dy}{dx}(p-x).
$$
令 $p=0$,得 $m=y-\frac{dy}{dx}x$.令 $m=0$,得$p=x-\frac{y}{\frac{dy}{dx}}$.则
$$
(y-\frac{dy}{dx}x)^2+(x-\frac{y}{\frac{dy}{dx}})^2=l^2.
$$