《解析几何》吕林根,徐子道第四版 习题 1.4.7,1.4.8,1.4.9
习题1.4.7:已知向量 $\mathbf{a,b}$ 不共线,问 $\mathbf{c=2a-b}$ 与 $\mathbf{d=3a-2b}$ 是否线性相关?
证明:线性无关.假如 $\mathbf{c},\mathbf{d}$ 线性相关,则存在不全为零的实数 $\lambda,\xi$,使得
$$
\lambda\mathbf{c}+\xi \mathbf{d}=\mathbf{0}.
$$
也就是说,
$$
\lambda(\mathbf{2a-b})+\xi(\mathbf{3a-2b})=\mathbf{0}.
$$
即
$$
(2\lambda+3\xi)\mathbf{a}+(-\lambda-2\xi)\mathbf{b}=\mathbf{0}.
$$
由于 $\mathbf{a,b}$ 线性无关,因此
$$
\begin{cases}
2\lambda+3\xi=0\\
-\lambda-2\xi=0\\
\end{cases}
$$
解得 $\lambda,\xi$ 都为 0.这与 $\lambda,\xi$ 不全为零矛盾.因此假设错误,即$\mathbf{c,d}$ 线性无关.
习题 1.4.8:证明三个向量 $\mathbf{a=-e_1+3e_2+2e_3,b=4e_1-6e_2+2e_3,c=-3e_1+12e_2+11e_3}$ 共面,其中 $\mathbf{a}$ 能否被 $\mathbf{b,c}$ 线性表示?如能,写出线性表示关系式.
证明:也就是证明向量 $\mathbf{a,b,c}$ 线性相关.设
$$
x_1\mathbf{a}+x_2\mathbf{b}+x_3\mathbf{c}=\mathbf{0}.
$$
也就是设
$$
x_1 \begin{pmatrix}
-1\\
3\\
2\\
\end{pmatrix}+x_2 \begin{pmatrix}
4\\
-6\\
2\\
\end{pmatrix}+x_3 \begin{pmatrix}
-3\\
12\\
11\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}.
$$
也就是设
$$
\begin{cases}
-x_1+4x_2-3x_3=0\\
3x_1-6x_2+12x_3=0\\
2x_1+2x_2+11x_3=0\\
\end{cases}.
$$
行列式
$$
\begin{vmatrix}
-1&4&-3\\
3&-6&12\\
2&2&11
\end{vmatrix}=0.
$$
因此 $(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)$ 不是唯一解,因此向量 $\mathbf{a,b,c}$ 线性相关.由于 $\mathbf{b,c}$ 线性无关,因此 $\mathbf{a}$ 能被 $\mathbf{b,c}$ 线性表示.易得
$$
\mathbf{a}=\frac{-1}{10}\mathbf{b}+\frac{1}{5}\mathbf{c}.
$$
习题1.4.9:证明三个向量 $\lambda\mathbf{a}-\mu\mathbf{b},\mu\mathbf{b}-v\mathbf{c},v\mathbf{c}-\lambda\mathbf{a}$ 共面.
证明:也就是证明三个向量线性相关.首先,如果向量 $\mathbf{a,b,c}$ 线性相关,则很容易证明 $\lambda\mathbf{a}-\mu\mathbf{b},\mu\mathbf{b}-v\mathbf{c},v\mathbf{c}-\lambda\mathbf{a}$ 线性相关.当 $\lambda,\mu,v$ 三者中存在0的时候,易得 $\lambda\mathbf{a}-\mu\mathbf{b},\mu\mathbf{b}-v\mathbf{c},v\mathbf{c}-\lambda\mathbf{a}$ 线性相关.因此我们设 $\mathbf{a,b,c}$ 线性无关的时候,且 $\lambda,\mu,v$ 都不为0.设
$$
x_1(\lambda \mathbf{a}-\mu\mathbf{b})+x_2(\mu\mathbf{b}-v\mathbf{c})+x_3(v\mathbf{c}-\lambda\mathbf{a})=\mathbf{0}.
$$
即
$$
(\lambda x_1-\lambda x_3)\mathbf{a}+(\mu x_2-\mu x_1)\mathbf{b}+(v x_3-vx_2)\mathbf{c}=\mathbf{0}.
$$
于是
$$
\begin{cases}
\lambda (x_1-x_3)=0\\
\mu(x_2-x_1)=0\\
v(x_3-x_2)=0\\
\end{cases}.
$$
于是 $x_1=x_2=x_3$.可得 $\lambda\mathbf{a}-\mu\mathbf{b},\mu\mathbf{b}-v\mathbf{c},v\mathbf{c}-\lambda\mathbf{a}$ 线性相关.综上所述,无论如何,$\lambda\mathbf{a}-\mu\mathbf{b},\mu\mathbf{b}-v\mathbf{c},v\mathbf{c}-\lambda\mathbf{a}$ 都线性相关.
