解析函数的反函数也是解析函数

设 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的实解析函数,也就是说,$f$ 在任意一点都存在泰勒展开.且 $f(x)$ 存在反函数 $g(x)$,且 $g(x)$ 在各点的任意阶导数都存在,证明 $g$ 也是 $\mathbf{R}$ 上的实解析函数.

证明:我们知道,$f(x)$ 是解析的当且仅当 $f(x)$ 在任意一点的任意阶导数都存在,而且 $f$ 在任意一点的泰勒展开的余项都随着 $n$ 的增大而趋于0.设$f(x)$ 在任意给定的一个点 $x_0$ 处的泰勒展开为
  \begin{align*}
    f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\cdots.
  \end{align*}

且设$f(x_0)=y_0$.由于 $f$ 的泰勒展开式是收敛幂级数,因此我们有收敛半径大于0,也即
$$
\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{(\frac{|f^{(n)}(x_0)|}{n!})^{\frac{1}{n}}}>0.
$$
易得函数 $g$ 在点 $(y_0,x_0)$ 处的泰勒展开式,如果有的话,应该为
$$
g(y_0)+\frac{k(x_0)}{1!}(x-y_0)+\frac{k^{(1)}(x_0)}{2!}(x-y_0)^2+\cdots+\frac{k^{(n-1)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{k^{(n)}(x_0)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}+\cdots
$$
其中 $k(x)=\frac{1}{f'(x)}$.现在,我们试图去发现 $k^{(n)}(x)$ 的公式.
$$
k^{(1)}(x)=\frac{-f^{(2)}(x)}{(f^{(1)}(x))^2}.
$$
\begin{align*}
  k^{(2)}(x)&=\frac{-f^{(3)}(x)(f^{(1)}(x))^2-(-f^{(2)}(x))2f^{(1)}(x)f^{(2)}(x)}{(f^{(1)}(x)^4}
  \\&=\frac{-f^{(3)}(x)f^{(1)}(x)+2(f^{(2)}(x))^{2}}{f^{(1)}(x)^3}
\end{align*}
$$
k^{(3)}(x)=\frac{6f^{(1)}(x)f^{(2)}(x)f^{(3)}(x)-(f^{(1)}(x))^2f^{(4)}(x)-6(f^{(2)}(x))^3}{f^{(1)}(x)^4}.
$$

\begin{align*}
  k^{(4)}(x)=\frac{6(f^{(1)})^2(f^{(3)})^2+8(f^{(1)})^2f^{(2)}f^{(4)}-(f^{(1)})^3f^{(5)}-36f^{(1)}(f^{(2)})^2f^{(3)}+24(f^{(2)})^4}{(f^{(1)})^5}.
\end{align*}
\begin{align*}
k^{(5)}(x)=\frac{-90(f^{(1)})^2f^{(2)}(f^{(3)})^2+20(f^{(1)})^3f^{(3)}f^{(4)}-60f^{(1)}(f^{(2)})^2f^{(4)}+10(f^{(1)})^3f^{(2)}f^{(5)}-(f^{(1)})^4f^{(6)}+240f^{(1)}(f^{(2)})^3f^{(3)}-120(f^{(2)})^{5}}{(f^{(1)})^6}.
\end{align*}

$$
\vdots
$$

易得
$$\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{(\frac{|k^{(n)}(x_0)|}{n!})^{\frac{1}{n}}}>0.$$
(至于这是为什么,请读者认真观察,好好思考.)因此命题成立.