多元微分学小结(4):隐函数存在定理的推广与函数相关

在第二篇小结里,我们已经知道,隐函数存在定理陈述如下:

Theorem 1 (隐函数存在定理) 设 $ f:\mathbf{R}^{n+m}\rightarrow\mathbf{R}^m$ 为连续可微函数, $ \mathbf{R}^{n+m}$ 中的元素写 成$ \mathbf{(x,y)}=(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m)$ 的形式.对于任意一 点$ (\mathbf{a,b}) = (a_{1},\cdots, a_{n}, b_{1},\cdots,b_m)$ 使得$ f(\mathbf{a,b}) = 0$,隐函数存在定理给出了一个充分 条件,用来判断能否在$ (\mathbf{a,b})$附近定义一 个$ \mathbf{y}$关于$ \mathbf{x}$的函数$ g$,使得只 要$ f(\mathbf{x,y})=0$,就有 $ \mathbf{y}=g(\mathbf{x})$.严格地说,就是存 在$ \mathbf{a}$和$ \mathbf{b}$的邻域$ U$ 和 $ V$,使得$ g$是 从 $ U$ 到 $ V$ 的函数,并且$ g$的函数图像满足

$ {\displaystyle \{(\mathbf{x},g(\mathbf{x}))\}=\{ (\mathbf{x},\mathbf{y}) | f(\mathbf{x},\mathbf{y}) =0 \}\cap(U\times V).}$

要使的这样的函数$ g$存在,函数$ f$ 的雅可比矩阵一定要满足一定的性质.对于给 定的一点 $ (a,b)$,$ f$ 的雅可比矩阵写做

$ {\displaystyle (Df)(\mathbf{a},\mathbf{b})=\left[\begin{matrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b})&\cdots&\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b}) \end{matrix}\right|\left. \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \end{matrix}\right]=[X|Y]}$

隐函数存在定理说明了:如果 $ Y$ 是一 个可逆的矩阵,那么满足前面性质的$ U,V$ 和函数 $ g$ 就会存在.

其可以被反函数定理轻易证明.易 得可以把隐函数存在定理平凡地推广如下,该平凡推广和隐函数存在定理的证明基本一样.

Theorem 2 (隐函数存在定理的推广) 设 $ f:\mathbf{R}^{n+m}\rightarrow \mathbf{R}^m$ 为连续可微函 数,$ \mathbf{R}^{n+m}$ 中的元素写成 $ (x_1,\cdots,x_{n+m})$ 的形式.当 $ f(a_1,\cdots,a_{n+m})=\mathbf{0}$ 时,我们把 $ f$ 在点 $ (a_1,\cdots,a_{n+m})$ 处的雅可比矩阵的第 $ i_1,\cdots,i_m$ 列挑选出来$ (i_1<i_2<\cdots<i_m)$, 按原来的顺序重新排成一个矩阵,这样就形成了 $ f$ 在点 $ (a_1,\cdots,a_{n+m})$ 处的雅可比矩阵的一个 $ m\times m$ 的子方阵,如果 该子方阵可逆,那么我们可以在点 $ (a_1,\cdots,a_{n+m})$ 附近定义一个 $ (x_{i_1},x_{i_2},\cdots,x_{i_m})$ 关于点$ (x_{j_1},x_{j_2}\cdots,x_{j_n})$ 的函数 $ g$,其中 $ j_1<j_2<\cdots<j_n$,且 $ \{j_1,\cdots,j_n\}\bigcup \{i_1,\cdots,i_m\}=\{1,\cdots,m+n\}$, 使得只要 $ f(x_1,\cdots,x_{m+n})=0$,我们就有 $ g(x_{j_1},\cdots,x_{j_n})=(x_{i_1},\cdots,x_{i_m})$.严格地说,就是存在$ (a_{j_1},\cdots,a_{j_n})$和$ (a_{i_1},\cdots,a_{i_m})$的邻域$ U$ 和 $ V$,使得$ g$是 从 $ U$ 到 $ V$ 的函数,并且$ g$的函数图像满足 \begin{align*}&\{((x_{j_1},\cdots,x_{j_n}),g(x_{j_1},\cdots,x_{j_n}))\}=\{ ((x_{j_1},\cdots,x_{j_n}),(x_{i_1},\cdots,x_{j_m})) | f(x_1,\cdots,x_{n+m}) =0 \}\cap(U\times V).\end{align*}

在第三篇小结里,我们知道了怎么利用反函数定理判断函数无关.而隐函数 存在定理的推广其实就是在告诉我们怎样利用反函数定理判断函数相关.数 学理论和谐如斯,有彼便有此.不过这还不算漂亮的,大戏正在拉开,我们已经做好了一切铺垫, 在第五篇小结里,我们将迎来 Lagrange 乘数法.