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条件极值(1):隐函数极值问题

本文主要参考了高木贞治的《高等微积分》.为了内容的连续性,我们把第四篇小结里推广的隐函数存在定理重叙如下:

Theorem1(隐函数存在定理的推广)f:Rn+mRm为连续可微函数,Rn+m中的元素写成(x1,,xn+m)的形式.当f(a1,,an+m)=0时,我们把f在点(a1,,an+m)处的雅可比矩阵的第i1,,im列挑选出来(i1<i2<<im),按原来的顺序重新排成一个矩阵,这样就形成了f在点(a1,,an+m)处的雅可比矩阵的一个m×m的子方阵,如果该子方阵可逆,那么我们可以在点(a1,,an+m)附近定义一个(xi1,xi2,,xim)关于点(xj1,xj2,xjn)的函数g,其中j1<j2<<jn,且{j1,,jn}{i1,,im}={1,,m+n},使得只要f(x1,,xm+n)=0,我们就有g(xj1,,xjn)=(xi1,,xim).严格地说,就是存在(aj1,,ajn)(ai1,,aim)的邻域UV,使得g是从UV的函数,并且g的函数图像满足{((xj1,,xjn),g(xj1,,xjn))}={((xj1,,xjn),(xi1,,xjm))|f(x1,,xn+m)=0}(U×V).
Remark1注意,当我们建立(xi1,xi2,,xim)关于(xj1,xj2,xjn)的函数g时,变量xj1,xj2,,xjn已经处于函数无关的状态.

DRn的开子集,f:DRg:DRm都是连续可微函数.且对于D中的每一点x,都存在相应的1i1<<imm,使得当我们把gx处的雅可比矩阵中的第i1,,im列挑选出来,按原来的顺序重新排成一个矩阵的时候,可以形成g在点x处的雅可比矩阵的一个m×m的可逆子方阵.

我们有约束条件g(x)=0,其中xRn,这样的约束条件确定了一个区域D.在D内的所有点都满足该约束条件,而在DD中的所有点都不满足该约束条件.我们试图找出 f|D 在区域D上的极值,其中f|D表示函数f在区域D上的限制.设x=(p1,,pn).且设x0f|DD上的极值点.由于gx0处满足定理1的条件,因此我们可以在点x0附近定义一个(pi1,pi2,,pim)关于点(pj1,pj2,,pjnm)的函数h,其中j1<j2<<jnm,且

{j1,,jnm}{i1,,im}={1,,n},

使得只要g(x0)=0,我们就有h(pj1,,pjnm)=(pi1,,pim).为了简化论述,不失一般性地,我们不妨设j1<<jnm<i1<<im.于是我们就可以把上述的在约束条件g(x)=0下求f的极值问题转化为求

z=f(pj1,,pjnm,h(pj1,,pjnm)) (1)

的极值问题,根据注1,我们知道pj1,,pjnm函数无关.为了求1的极值,我们有两种其实是完全一样的方案.但是,我愿意不劳辛辞地把它们通通写出来.我们先来介绍第一种.为了求1的极值,只需要令

zpj1=0,,zpjnm=0. (2)

根据复合函数的求导法则,可得r{1,,nm},我们有zpjr=(fpj1fpjnmfpi1fpim)(0100pi1pj1pimpj1)(nm10,1位于第r行.)=fpjr+mk=1fpikpikpjr.

于是条件2化为如下:r{1,,nm},

fpjr+mk=1fpikpikpjr=0. (3)

第二种方案只不过是对第一种方案的符号简化:为了求1的极值,我们先令t=(pj1,,pjnm).则式1化为

z=f(t,h(t)). (4)

为了求式1的极值,只用让

zt=0. (5)

根据复合函数的求导法则,式5

ft+fh(t)h(t)t=0. (6)

6和方程组3是一样的.于是与其看繁琐的方程组3,我们不如来看式5.事情做到这一步,其实还没完,因为h(t)t是很难知道的,因为我们很难确定h.幸运的是,根据隐函数定理,我们能继续求出h(t)t.下面具体地来做.我们知道,

g(x)=0,

g(t,h(t))=0,

因此对两边对t求导,我们有

gt+gh(t)h(t)t=0. (7)

把式7代入式6,我们得到

ft=fh(t)(gh(t))1gt. (8)

posted @   叶卢庆  阅读(1772)  评论(0编辑  收藏  举报
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