欧阳光中等人编写的《数学分析》对函数相关的定义有严重漏洞
像《陶哲轩实分析》这种叙述严格的书读多了,然后去读那些叙述不严格的书,会 感到很不适应.比如,在华罗庚著《高等数学引论》第四册第2.11节,对函数相 关定义如下:
Definition 1 (函数相关(华罗庚)) 考虑 n 个变量的 m 个函数{u1=u1(x1,⋯,xn),⋮um=un(x1,⋯,xn). (1)
假定这些函数是连续的,而且有一阶连续偏微商,如果有一个非零函数F(u1,⋯,um),
当把 1 代入此函数时,得到一个对 x1,⋯,xn 恒等于0 的式子,这 m 个函数称为函数相关.
在欧阳光中,朱学炎, 金福临,陈传璋编写的《数学分析》第三版下册中,对函数 相关的定义如下:
Definition 2 (函数相关(欧阳光中等)) 设 D 是 Rn 的一个子集.我们来看 D 上的函 数 g:Rn→Rm, g(x)=y,其中 x=(x1,⋯,xn),y=(y1,⋯,ym).将函 数 g写成分量形式 (g1,⋯,gm),我们就会得到 m 个函数{y1=g1(x1,⋯,xn)⋮ym=gm(x1,⋯,xn).
如果存在 1≤i≤m,且存在函数 G:Rm−1→R,使得 ∀(x1,⋯,xn)∈D,有 gi(x1,⋯,xn)=G(g1(x1,⋯,xn),⋯,gi−1(x1,⋯,xn),gi+1(x1,⋯,xn),⋯,gm(x1,⋯,xn)), 则称函数 g1,⋯,gm 是在 D 上函数相关 的.
我们发现,如果 m 个函数是按照欧阳光中的定义函数相关,则这 m 个函数也 按照华罗庚的定义函数相关.但是如果 m 个函数按照华罗庚的定义函数相关, 则这 m 个函数不一定按照欧阳光中的定义函数相关.
因此欧阳光中等人对函数相关的定义比华罗庚的定义更强.我们现在来揭示欧阳 光中等人对函数相关的定义的缺陷.我们发现,按照欧阳光中他们的定义,m 个 函数无论如何都是函数相关的.比如,当 (x1,⋯,xn)=(a1,⋯,an) 时,我们总可以恰当地定义 G,使得 gi(a1,⋯,an)=G(g1(a1,⋯,an),⋯,gi−1(a1,⋯,an),gi+1(a1,⋯,an),⋯,gm(a1,⋯,an)), 所以,欧阳光中的定义是存在严重问题的,所以华罗庚的定义自然也有问题.我查阅了黄玉民,李成章编的《数学分析》 下的第13.6节,以及Martin Moskowitz,Fotios Paliogiannis 著的 Functions Of Several Real Variables的定义3.10.1,才发现,在欧阳光中等人的定义中,函数 G:Rm→R 必须加上如下条件:
G连续可微且∇G≠0.
而在华罗庚的定义中,必须加上条件
F连续可微且∇F≠0.
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