二阶齐次线性微分方程的通解可以表示成两个线性无关解的线性组合
tex源代码如下:
1 \documentclass[a4paper, 12pt]{article} 2 \usepackage{amsmath,amsfonts,bm} 3 \usepackage{hyperref} 4 \usepackage{amsthm} 5 \usepackage{amssymb} 6 \usepackage{framed,mdframed} 7 \usepackage{graphicx,color} 8 \usepackage{mathrsfs,xcolor} 9 \usepackage[all]{xy} 10 \usepackage{fancybox} 11 \usepackage{xeCJK,epigraph} 12 \newtheorem*{adtheorem}{定理} 13 \setCJKmainfont[BoldFont=FZYaoTi,ItalicFont=FZYaoTi]{FZYaoTi} 14 \definecolor{shadecolor}{rgb}{1.0,0.9,0.9} 15 \newenvironment{theorem} 16 {\bigskip\begin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]\begin{adtheorem}} 17 {\end{adtheorem}\end{mdframed}\bigskip} 18 \newtheorem*{bdtheorem}{定义} 19 \newenvironment{definition} 20 {\bigskip\begin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]\begin{bdtheorem}} 21 {\end{bdtheorem}\end{mdframed}\bigskip} 22 \newtheorem*{cdtheorem}{习题} 23 \newenvironment{exercise} 24 {\bigskip\begin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]\begin{cdtheorem}} 25 {\end{cdtheorem}\end{mdframed}\bigskip} 26 \newtheorem*{ddtheorem}{注} 27 \newenvironment{remark} 28 {\bigskip\begin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]\begin{ddtheorem}} 29 {\end{ddtheorem}\end{mdframed}\bigskip} 30 \newtheorem*{edtheorem}{引理} 31 \newenvironment{lemma} 32 {\bigskip\begin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]\begin{edtheorem}} 33 {\end{edtheorem}\end{mdframed}\bigskip} 34 \newtheorem*{pdtheorem}{例} 35 \newenvironment{example} 36 {\bigskip\begin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]\begin{pdtheorem}} 37 {\end{pdtheorem}\end{mdframed}\bigskip} 38 39 \usepackage[protrusion=true,expansion=true]{microtype} 40 \usepackage{wrapfig} 41 \usepackage{mathpazo} 42 \usepackage[T1]{fontenc} 43 \linespread{1.05} 44 45 \makeatletter 46 \renewcommand\@biblabel[1]{\textbf{#1.}} % Change the square brackets for each bibliography item from '[1]' to '1.' 47 \renewcommand{\@listI}{\itemsep=0pt} % Reduce the space between items in the itemize and enumerate environments and the bibliography 48 49 \renewcommand{\maketitle}{ % Customize the title - do not edit title 50 % and author name here, see the TITLE block 51 % below 52 \renewcommand\refname{参考文献} 53 \newcommand{\D}{\displaystyle}\newcommand{\ri}{\Rightarrow} 54 \newcommand{\ds}{\displaystyle} \renewcommand{\ni}{\noindent} 55 \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\Om}{\Omega} 56 \newcommand{\om}{\omega} \newcommand{\sik}{\sum_{i=1}^k} 57 \newcommand{\vov}{\Vert\omega\Vert} \newcommand{\Umy}{U_{\mu_i,y^i}} 58 \newcommand{\lamns}{\lambda_n^{^{\scriptstyle\sigma}}} 59 \newcommand{\chiomn}{\chi_{_{\Omega_n}}} 60 \newcommand{\ullim}{\underline{\lim}} \newcommand{\bsy}{\boldsymbol} 61 \newcommand{\mvb}{\mathversion{bold}} \newcommand{\la}{\lambda} 62 \newcommand{\La}{\Lambda} \newcommand{\va}{\varepsilon} 63 \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\al}{\alpha} 64 \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\R}{{\mathbb R}} 65 \newcommand{\N}{{\mathbb N}} \newcommand{\cF}{{\mathcal F}} 66 \newcommand{\gB}{{\mathfrak B}} \newcommand{\eps}{\epsilon} 67 \begin{flushright} % Right align 68 {\LARGE\@title} % Increase the font size of the title 69 70 \vspace{50pt} % Some vertical space between the title and author name 71 72 {\large\@author} % Author name 73 \\\@date % Date 74 75 \vspace{40pt} % Some vertical space between the author block and abstract 76 \end{flushright} 77 } 78 79 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 80 % TITLE 81 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 82 \begin{document} 83 \title{\textbf{《基础偏微分方程》\footnote{David Bleecker,George 84 Csordas著,李俊杰译.高等教育出版社,丘成桐主编数学翻译丛 85 书.}习题1.1.20:证明二阶齐次线性方程的通解可以表示成任意两个线性无 86 关解的线性组合}} \setlength\epigraphwidth{0.7\linewidth} 87 \epigraph{汝当更求古之哲王以为师,如吾,不足法也.夫取法于上,仅得其中;取法 88 于中,不免为下.}{唐太宗《帝范》} \author{\small{叶卢庆}\\{\small{杭州 89 师范大学理学院,学号:1002011005}}\\{\small{Email:h5411167@gmail.com}}} % Institution 90 \renewcommand{\today}{\number\year. \number\month. \number\day} 91 \date{\today} % Date 92 93 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 94 95 96 \maketitle % Print the title section 97 98 99 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 100 % ABSTRACT AND KEYWORDS 101 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 102 103 % \renewcommand{\abstractname}{摘要} % Uncomment to change the name of the abstract to something else 104 105 % \begin{abstract} 106 107 % \end{abstract} 108 109 % \hspace*{3,6mm}\textit{关键词:} % Keywords 110 111 % \vspace{30pt} % Some vertical space between the abstract and first section 112 113 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 114 % ESSAY BODY 115 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 116 通过完成下列步骤,证明二阶齐次线性方程 $ay''+by'+cy=0$ [其中 $a,b,c$为 117 常数且 $a\neq 0$.]的通解具有 $\phi(x,c_1,c_2)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$ 的 118 形式,其中$y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是任意两个线性无关的解.这里假设所考虑的 119 函数处处具连续的二阶导数(这是为了让隐函数定理发挥作用).\\ 120 121 根据通解的定义,我们只用证明 $c_1$ 和 $c_2$ 是函数独立的,也就是证明 122 $\forall x\in I$, 123 $$ 124 \begin{vmatrix} 125 \frac{\pa\phi}{\pa c_1}(x)&\frac{\pa \phi}{\pa c_2}(x)\\ 126 \frac{\pa\phi'}{\pa c_1}(x)&\frac{\pa \phi'}{\pa c_2}(x) 127 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 128 y_1(x)&y_2(x)\\ 129 y_1'(x)&y_2'(x) 130 \end{vmatrix}\neq 0. 131 $$ 132 结合如下两个引理: (b)和 (a),我们可以直接得到上述结论.注意,引理 (a) 的 133 意思是,两个函数线性无关,表明存在 $x_0\in I$,使得 Wronskian 不为0.这一 134 点结合引理 (b),得到 Wronskian 在整个 $I$ 上不为0. 135 \begin{exercise}[1.1.20,(b)] 136 \textbf{Abel} 公式:证明如 $y(x),z(x)$ 是 $ay''+by'+cy=0$ 的任意 137 解,则 $W[y,z](x)$ 是$aW'(x)+bW(x)=0$ 的解.于是存在依赖于 $y$ 和 $z$ 138 的常数 $C$,有 $W[y,z](x)=C\exp(-bx/a)$. 139 \end{exercise} 140 \begin{proof}[探索与证明] 141 我们有 142 \begin{equation} 143 \label{eq:3} 144 ay''+by'+cy=0, 145 \end{equation} 146 \begin{equation} 147 \label{eq:4} 148 az''+bz'+cz=0. 149 \end{equation} 150 把 $a,b,c$ 看作未知数,\eqref{eq:3} 和 \eqref{eq:4} 是两个方程,显然不 151 能解出 $a,b,c$.但是要寻找它们之间的关系应该还是可以做到的.将方 152 程\eqref{eq:3} 的两边同时乘以 $z$,得到 153 \begin{equation} 154 \label{eq:5} 155 azy''+bzy'=-czy. 156 \end{equation} 157 将方程 \eqref{eq:4} 的两边同时乘以 $y$,得到 158 \begin{equation} 159 \label{eq:6} 160 ayz''+byz'=-czy. 161 \end{equation} 162 方程 \eqref{eq:5} 和方程 \eqref{eq:6} 相减,可得 163 \begin{equation} 164 \label{eq:7} 165 azy''-ayz''+bzy'-byz'=0. 166 \end{equation} 167 \eqref{eq:7} 即 168 \begin{equation} 169 \label{eq:8} 170 a \begin{vmatrix} 171 z&y\\ 172 z''&y''\\ 173 \end{vmatrix}+b \begin{vmatrix} 174 z&y\\ 175 z'&y'\\ 176 \end{vmatrix}=0. 177 \end{equation} 178 于是 $aW'(x)+bW(x)=0$ 成立. 179 \end{proof} 180 \begin{exercise}[1.1.20,(a)] 181 证明两函数 $f(x),g(x)$($\frac{f(x)}{g(x)}$或 $\frac{g(x)}{f(x)}$ 是可 182 微的)在某个区间 $I$ 上线性相关的充要条件是它们的 Wronskian 183 $$ 184 W[f,g](x)=\begin{vmatrix} 185 f(x)&g(x)\\ 186 f'(x)&g'(x) 187 \end{vmatrix} 188 $$ 189 对所有的 $x\in I$ 为零. 190 \end{exercise} 191 \begin{proof}[证明] 192 当 $f(x),g(x)$ 在 $I$ 上线性相关,说明存在不全为0的实 193 数 $\lambda_1,\lambda_2$,使得 194 \begin{equation} 195 \label{eq:1} 196 \lambda_1f(x)+\lambda_2g(x)=0. 197 \end{equation} 198 因此 199 \begin{equation} 200 \label{eq:2} 201 \lambda_1f'(x)+\lambda_2g'(x)=0. 202 \end{equation} 203 把上面的两个方程联立,把 $\lambda_1,\lambda_2$ 看作未知量.由于 204 $$ 205 \begin{vmatrix} 206 f(x)&0\\ 207 f'(x)&0\\ 208 \end{vmatrix} 209 $$ 210 和 211 $$ 212 \begin{vmatrix} 213 0&g(x)\\ 214 0&g'(x)\\ 215 \end{vmatrix} 216 $$ 217 都为0,因此根据 Cramer 法则,为了使得 $\lambda_1,\lambda_2$ 存在且不全 218 为0,必须使 219 $$ 220 \begin{vmatrix} 221 f(x)&g(x)\\ 222 f'(x)&g'(x) 223 \end{vmatrix}=0. 224 $$\\ 225 226 反之,如果 227 $$ 228 \begin{vmatrix} 229 f(x)&g(x)\\ 230 f'(x)&g'(x) 231 \end{vmatrix}=0, 232 $$ 233 则根 234 据 Cramer 法则,\eqref{eq:1} 和 \eqref{eq:2} 中的$\lambda_1,\lambda_2$ 235 也存在不全为0的解. 236 \end{proof} 237 238 239 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 240 % BIBLIOGRAPHY 241 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 242 243 \bibliographystyle{unsrt} 244 245 \bibliography{sample} 246 247 % ---------------------------------------------------------------------------------------- 248 \end{document}
更新1:个人认为题目中的二阶导函数连续这个条件是不必的.
