陶哲轩实分析 习题 13.5.6

设 $X$ 是不可数集,并设 $\tau$ 是 $X$ 中一切这样的子集合 $E$ 的族,$E$ 或是空集或是余有限的.证明 $\tau$ 是 $X$ 上的拓扑.

证明:首先,$\emptyset\in\tau$(题目已经指明),其次 $X\in\tau$(因为 $X\backslash X$ 是有限集).现在我们证明 $\forall A,B\in\tau$,$A\bigcap B\in\tau$,我们只用证明 $X\backslash (A\bigcup B)$ 是余有限的,即只用证明 $(X\backslash A)\bigcap (X\backslash B)$ 是余有限的,这是容易的.现在我们证明 $\tau$ 中的开集的任意并都属于 $\tau$,即证明这些开集的余集的任意交都是有限的,这是显然的.综上,$\tau$ 是 $X$ 上的拓扑.

  证明 $\tau$ 是 Hausdorff 拓扑.

证明:即证明 $X$ 中的任意两个不同的元素都可以被 $\tau$ 中的两个不相交开集覆盖.这个太简单了.

  $(X,\tau)$ 是紧致的.

证明:即证明 $X$ 的任意开覆盖都有有限子覆盖.一个开集覆盖 $X$ 中的部分元素,那么 $X$ 中剩下的元素只有有限个,这有限个元素可以被有限个开集覆盖(为什么?)因此 $X$ 的任意开覆盖都有有限子覆盖.  

$(X,\tau)$ 是连通的.

证明:假设 $(X,\tau)$ 不是连通的,则可以分解成两个互不相交的非空开集之并,这表明 $X$ 是有限集,矛盾.因此 $(X,\tau)$ 是连通的.

当 $x\in X$,且 $(V_n)_{n=1}^{\infty}$ 是任意的含点 $x$ 的开集的族时,$\bigcap_{n=1}^{\infty}V_n\neq\{x\}$.

证明:假若有 $\bigcap_{n=1}^{\infty}V_n=\{x\}$,则有 $X\backslash (\bigcap_{n=1}^{\infty}V_n)=\bigcup_{n=1}^{\infty}(X\backslash V_n)=\{x\}$.这与 $\forall i\in\mathbf{N}^+$,$x\in V_i$ 矛盾.