陶哲轩实分析 习题 13.4.7

设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $E$ 是 $X$ 的子集合,且 $E$ 是道路连通的,求证 $E$ 是连通的.

  证明:假如 $E$ 不是连通的,则 $E$ 可以分解成两个非空的互不相交的集合 $A$ 和 $B$ 的并,其中 $A$ 和 $B$ 都是相对于 $E$ 的开集.在 $A$ 里选取一个点 $x$,在 $B$ 里选取一个点 $y$.令 $[0,1]$ 上的连续函数 $f:[0,1]\to E$ 满足 $f(0)=x,f(1)=y$,根据陶哲轩实分析 定理 13.4.6 ,可知 $f([0,1])$ 是 $X$ 上的连通集.但是 $f([0,1])=(f([0,1])\bigcap A)\bigcup (f([0,1]\bigcap B)$,且 $f([0,1])\bigcap A$ 和 $f([0,1])\bigcap B$ 都是非空的,不相交的,相对于 $f([0,1])$ 的开集(为什么?).这说明 $f([0,1])$ 不是连通的,矛盾.可见假设错误,即 $E$ 是连通的.