关于多重聚点

\author{叶卢庆}\email{h5411167@gmail.com} 笔者近日在证明度量空间中的有限覆盖定理的过程中发展了自己关于多重聚点的想法,现在记录如下. 设 $Y$ 是度量空间 $(X,d)$ 中的紧致子集,且 $Y$ 是无限集,则 $Y$ 在 $(X,d)$ 中有聚点,我们把 $Y$ 在 $(X,d)$ 中的所有聚点叫做 一级聚点, $Y$ 在 $X$ 中的所有一级聚点形成一个集合,叫做一级聚点集合.

 定理1:$Y$ 在 $X$ 中的一级聚点集合是 $Y$ 的子集.

该定理的证明很容易,留给读者. 如果 $Y$ 在 $X$ 中的一级聚点集合是有限集合,则作罢.如果 $Y$ 在 $X$ 中的一级聚点集合是无限集合,则我们继续看一级聚点集合中的聚点(易得此时一级聚点集合中的聚点肯定存在,为什么?提示:使用聚点原理),我们把一级聚点集合中的聚点叫做 $Y$ 在 $X$ 中的二级聚点,$Y$ 在 $X$ 中的二级聚点形成的集合叫做二级聚点集合.   如果二级聚点集合是有限集合,则作罢.否则可以定义 $Y$ 在 $X$ 中的三级聚点以及三级聚点集合.   依次类推,我们可以定义 $Y$ 在 $X$ 上的 $n$ 级聚点以及 $n$ 级聚点集合 $P_n$.以下定理证明都很容易,留给读者.

 定理2: $n$ 级聚点集合是 $n-1$ 级聚点集合的子集.

 

定理3:若 $\bigcap_{i=1}^{\infty}P_i=\emptyset$,则存在正整数 $N$,使得 $P_N$ 是有限集.

定理4:若 $\bigcap_{i=1}^{\infty}P_i\neq\emptyset$,则 $\bigcap_{i=1}^{\infty}P_i$ 是无限集,且 $\bigcap_{i=1}^{\infty}P_i$ 是 $Y$ 中的闭集,且 $\bigcap_{i=1}^{\infty}P_i$ 中没有孤立点,只有极限点.

 

定理5(有限覆盖定理的特例):若 $\bigcap_{i=1}^{\infty}P_i=\emptyset$,此时若 $X$ 中的开集族覆盖 $Y$,则该开集族存在有限子集族依旧覆盖集合 $Y$.

之所以定理5有必要列出来,是因为该有限覆盖定理的特例的证明比较简单.

定理6:若 $Y$ 是不可数集合,我们令 $A=\bigcap_{i=1}^{\infty}P_i$,$B=Y\backslash A$,可知 $Y=A\bigcup B$,其中 $A$ 是不可数集合,而 $B$ 是可数集合.

 

推论6.1:若 $\bigcap_{i=1}^{\infty}P_i$ 是可数集合,则 $Y$ 是可数集合.