陶哲轩实分析 推论 12.5.6 注: 完备且有界的度量空间不一定是紧致度量空间

设度量空间 $(X,d)$，且 $(X,d)$ 是一个完备且有界的度量空间, 那么 $(X,d)$不一定是紧致的度量空间.

陶哲轩在推论 12.5.6 之后给出了一个例子来说明这种现象.现在我从证明的角度来解释,在证明这个错误命题的时候会遇到什么不可克服的障碍.我们知道,

如果 $(X,d)$ 是 $(\mathbf{P},d_{l^2})$,其中 $d_{l^2}$ 是欧几里德度量,$P$ 是 $\mathbf{R}$ 的完备子集,则 $(\mathbf{P},d_{l^2})$ 是紧致的(根据聚点定理).

之所以在特殊情形,命题成立,是因为实数有按照通常的大小关系而形成的序关系,正是因为这个大小关系的存在,使得我们可以进行对于聚点定理的证明十分重要的分割.但是在一般的度量空间里的元素并不一定有通常实数的序关系.