陶哲轩实分析定理 11.4.3 $\max$与$\min$保持黎曼可积性

设$I$是有界区间,并设$f:I\to\mathbf{R}$与$g:I\to\mathbf{R}$都是$\bf{Riemann}$可积函数,那么由$$\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x))$$定义的函数$\max(f,g)$以及由$$\min(f,g):=\min((f(x),g(x))$$定义的函数$\min(f,g)$都是$\bf{Riemann}$可积的.

 

证明:证明是简单的,我们只证明$\max(f(x),g(x))$是$\bf{Riemann}$可积的.设$\mathbb{P}$是$I$的一个划分,$\forall j\in \mathbb{P}$,可知$\max(f,g)$在$j$上的上确界是$\max(f\mbox{在j上的上确界},g\mbox{在j上的上确界})$.且$\max(f,g)$在$j$上的下确界是$\max(f\mbox{在j上的下确界},g\mbox{在j上的下确界})$.

 

想通了这一点,接下来自然好证(为什么?).