陶哲轩实分析习题8.5.11

设$X$是偏序集，并设$Y$,$Y'$是$X$的良序子集.证明$Y\bigcup Y'$是良序的当且仅当它是全序的.

证明：$\Rightarrow$是自明的.

$\Leftarrow:$任取$Y\bigcup Y'$的一个非空子集$A$.令$A_1=\{x\in A:x\in Y\}$.$A_2=\{x\in A:x\in Y'\}$.$A_1\bigcup A_2=A$.设$A_1$的最小元是$a_1$.$A_2$的最小元是$a_2$.由于$Y\bigcup Y'$是全序集，所以$a_1\preceq a_2$或$a_2\preceq a_1$.由对称性不妨假设$a_1\preceq a_2$.易得$a_1$是$A$的最小元.$\Box$.

注:接下来我要稍稍推广这个定理.设$X$是偏序集，$I$是一个有限集.$\forall \alpha\in I$,$Y_{\alpha}$都是$X$的良序子集.则$\bigcup_{\alpha\in I}Y_{\alpha}$是良序的当且仅当它是全序的.证明和上面的没什么不同.注意这里“$I$有限”这个条件是不可少的.