《陶哲轩实分析》——给读者的一点建议
这份建议原本发表在我的豆瓣书评上 ，后来有位朋友和我在邮件上交流了几次，他希望我把这个建议里的英文段落翻译一下.那我现在就翻译一下吧，顺便把这个建议修改补充一下.
给读者的一点建议
这本书是著名华裔天才数学家陶哲轩的著作，它的雏形是陶在UCLA教荣誉实分析课程时写的的一系列课堂讲义。在我刚进大学的时候，一度对严格的实数构造理论十分迷惑，花了一个月参考了各种书都不得要领，直到我遇到了这本书。这本书对实数的构造理论的介绍是完美的，它在逻辑上超级注重严格性，而在言语上又十分亲切。在初三的时候，我在中学生天地上第一次看到对陶哲轩的介绍（那时他刚获菲尔兹奖，31岁），没想到四年之后，我又以这样的方式接触了陶哲轩。从此我对陶哲轩十分膜拜，我之所以会$\LaTeX$,是因为陶哲轩在他的博客上使用$\LaTeX$,我之所以写博客，也是因为他写博客！
我十分仔细地解决掉了本书的前8章(实数的构造，集合论以及级数理论)，每一个定理，每一道习题。现在仍在继续读（解决了多元微分学，以及勒贝格积分）。
我给读者的建议是，本书涉及的内容虽然相对初等，但是不要觉得它是一本容易的书，原因在于，它是一本高度注重基础性和严格性的书。 为什么陶哲轩会写一本如此注重严格性和基础性的书呢？陶哲轩在本书的前言里已经充分地叙述了他的理由，除此之外，我觉得这很可能和陶哲轩本人对待数学的态度很有关系。陶哲轩曾经说过：
陶哲轩在数学家Gowers(Tim Gowers,英国数学家,菲尔兹奖获得者)的博客上的留言也表明了它的这种态度，陶哲轩说：
I think that the weakest link in calculus education is the concept of a function; it is incredibly fundamental to the subject, but looks so innocuous (especially to someone with enough mathematical training to understand it) that it is easy to gloss over it in favour of what looks to be more “substantial” (and also “testable”) components of calculus, such as integration by parts or the chain rule (and also, there can be the unsupported assumption that because students would “already have seen” the concept of a function in high school algebra, there’s no need to review it thoroughly).
(In general, I think fundamentals are too often given short shrift in order to advance prematurely to applications of said fundamentals. When I teach undergraduate real analysis, for instance, I like to spend a fair amount of time on construction of number systems, before getting to the limits and the deltas and epsilons. Unfortunately, the most basic topics are often the hardest to teach correctly…
为了照顾英文不方便的读者，我将它翻译如下:
我觉得在微积分的教学中，最弱的一个环节是函数的概念。函数的概念对于这个学科来说，是无比的基本，但是这个概念看上去又是如此的无关紧要（特别是对于受过足够数学训练的人来说），以至于(在教学过程中——译者加)我们很容易将其了草地通过，而去眷顾微积分中那些更加具有“实质性”(以及“可测验性”)的部分，比如分部积分，或者是链法则。（而且，存在着这么一种没有充分依据的看法，就是学生在高中的时候应该已经见识过函数的概念了，因此没必要将其全面地复习）.
(一般地，我觉得基础常常被过快地跳过，进度不成熟地进入基础的应用部分.比如当我在教本科实分析课程的时候，在极限概念和$\delta-\epsilon$语言之前,我喜欢花相当一部分的时间构造实数体系。不幸的是，最基本的内容常常是最难教的...)
由此可见陶哲轩对数学基础的重视程度.可见，他写这么基本和严格的书不是乱来的，而是有自己的看法在内的。如果你觉得书中的一些内容太过基本就快速跳过去了，那么你就失掉了本书的很大一部分价值——你要做的，是不放过里面的每一个命题，即便是再简单的命题，你也要去严格地证掉它，而不是仅仅凭借直觉，直觉虽然对理解很有助益，但是你要确信自己完全有能力把直觉转化为严格的证明。
而且，我认为如果你想真正从基础学起一步步向上搭建的话，直接翻开书的中间读也是不好的，由于这本书是十分基础的，里面的数学体系是极其严密地一步步搭建上去的，所以是有前后联系的，一个命题的成立建立在前面命题的成立基础之上。如果直接翻开中间读，你很可能会不晓得怎么严格地证明里面的命题。当然，我并没有说一定不能翻开中间读，事实上，我现在（2012年4月16日）准备直接翻开第18章读，因为再不读18章就跟不上学校里实分析课程的进度了。
如果你像我一样这样做了，从第一页读起很认真地读到第172页（我真的不建议那些只为了分数而学数学的人学这本书。起码这本书的前8章对你分数的提高无任何作用。数学的很大一部分是无法用拙劣的纸质试卷测验的，只有极好的试题，以及面试才能检验那些部分），你会发现一个数学建筑是如何严密地一砖一瓦地搭建起来的，从而体会到数学赏心悦目的结构感。
为了说明该怎么阅读这本书，请看我与陶哲轩在博客留言区上的一段对话。
我的问题 ：
Dear professor Tao,
I want to ask for advice,I will do exactly what you advise me to do. This book let me do a lot of trival exercise ,for example,Exercise 7.1.1 ask me to prove lemma 7.1.4,but I think lemma 7.1.4 is so obvious that I do not need to write the proof down. I even think that I don’t need to think about lemma 7.1.4,because that is so obvious,if some one let me prove lemma 7.1.4, I can prove it with no doubt.But if someone do not ask me to prove that ,I will definitely not even think about such trival thing. So I want to know your attitude towards this,whether I should write my proof down……
Maybe many readers have same confusion,your advice will be appreciated.
陶哲轩的回复：
For a foundational course such as this, it is important to make sure that you can in fact supply a rigorous proof for any statement which is intuitively obvious to you; this point is also discussed at the end of http://terrytao.wordpress.com/career-advice/there%E2%80%99s-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/ . In the specific case of Lemma 7.1.4 (basic facts about finite series), it is important to realise why “obvious” manipulations about finite series are true because such manipulations are not always true for infinite series (particularly if they are not absolutely convergent, or even conditionally convergent). In particular, it is important to realise that manipulation of finite series is ultimately justified through the axiom of induction (to make rigorous statements such as “use the associative law n times”), which is not directly available for the infinite series setting.
为了照顾英文不方便的读者，我把这两段对话翻译一下:
我的问题:
亲爱的陶教授,
我想向您请求一个建议，我将完全按照您的建议来做。这本书让我做很多平凡的练习题，比如，练习7.1.1让我证明引理7.1.4，但是我觉得引理7.1.4太显然了，因此根本不必要把证明写下来，甚至我觉得引理7.1.4根本是连想都不必去想的，因为那简直是显然的，如果有人来叫我证明引理7.1.4，我肯定能把它证掉，但是如果没人来叫我证明引理7.1.4，我根本不会去想这么平凡的东西，所以我想知道您对此的态度，我到底要不要写下我的证明。。。也许很多读者也会有相同的疑惑，大家会感激您的建议的。
陶哲轩的回复：
对于像这样的一个基础课程来说，重要的是你能确信你真的能够严格地证明一切对你来说显得直观的命题。这一点在http://terrytao.wordpress.com/career-advice/there%E2%80%99s-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/ 的末尾也有提到。对于引理7.1.4(有限级数的基本事实)这个特例来说，重要的是懂得为什么对于有限级数的“显然”的操作是对的，因为当这些操作应用到无限级数里的时候，不一定是对的（特别是当无限级数不是绝对收敛的时候，甚至当无限级数是条件收敛的时候）。特别的，重要的是意识到对有限级数的操作最终是建立在归纳公理(用来严格的表述诸如“使用结合律n次”)上的，而归纳公理对无限级数是不适用的。
听君一席话，胜读一个月的书啊。
读掉前8章，我已经对陶教授敬佩的很了（可惜另外一个华裔菲尔兹奖获得者丘成桐没有写一本这么基础的书来让我膜拜，丘的书太高端，如果我能在有生之年读懂，那也算命好），除了少数印刷错误之外，书的严格性的确是天衣无缝。我佩服陶哲轩滴水不漏的严密思维，他显然比会绣花的织女细心多了。陶教授对于细节的捕捉能力简直令人惊叹，每当他定义一个新概念的时候，如果新定义的概念与已存在的概念存在重合之处，他就会指出“定义的相容性”，这份细心和严格，不得不令人击节赞叹。
什么时候中国学者也能写样的书，而不是到处的垃圾作品，以及一些宣扬“注重基础无用，否则数学100年都学不完”的书，那么我国数学也就发达了。
