Elementary Methods in Number Theory Exercise 1.5.12

Let $n_0\geq 6$,prove that if $\pi(n_0)\leq \frac{4n_0}{15}$,and $n=n_0+30k$,then $\pi(n)\leq \frac{4n}{15}$.

证明:我寄希望于证明区间$(n_0,n_0+30k]$中素数个数不会多于$8k$.在该区间中，被2整除的数最少有$15k$,被3整除的数最少有$10k$,被5整除的数最少有$6k$,被7整除的数最少有$4k$.则素数最多有$$30k-15k-10k-6k-4k+5k+3k+2k+2k+k=8k$$

因此区间$(n_0,n_0+30k]$中最多有$8k$素数，结合$\pi(n_0)\leq\frac{4n_0}{15}$,可得$\pi(n)\leq \frac{4n}{15}$.