高等微積分(高木貞治) 1.4節 例2

若$a>1$,$k>0$,則當$n\to\infty$時，$\frac{a^n}{n^k}\to\infty$.

 

證明:即證$\log a^n-\log n^k\to \infty$.即證
\begin{equation}
\label{eq:4.14}
n\log a-k\log n\to\infty
\end{equation}
只用證明
\begin{equation}
\label{eq:4.20}
\lim_{n\to\infty} \frac{\log n}{n}=p,p<1
\end{equation}即可.只用證明
\begin{equation}
\label{eq:4.21}
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=e^p,p<1
\end{equation}即可.我先證明當$n>2$時，有
\begin{equation}
\label{eq:6.51}
\sqrt[n+1]{n+1}<\sqrt[n]{n}
\end{equation}
即證
\begin{equation}
\label{eq:6.55}
n>(1+\frac{1}{n})^n
\end{equation}
這是容易的，因爲
\begin{equation}
\label{eq:6.57}
(1+\frac{1}{n})^n<e<3
\end{equation}
而且，$\forall n\in\mathbf{N}^{+}$,$\sqrt[n]{n}\geq 1$,根據確界原理，
\begin{equation}
\label{eq:6.59}
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}
\end{equation}存在，設其爲$a$.則$a\geq 1$,且易得$a<\sqrt[3]{3}<1.4$,所以存在$p<1$,使得$e^p=a$.可知，

\begin{equation}
\label{eq:7.45}
\lim_{n\to\infty} \frac{\log n}{n}<1
\end{equation}
於是，命題得證.