纯数学教程 Page 203 例XLI (3)

证明:如果$\phi(x)$是一个多项式,且$\phi(x)$能被$(x-a)$整除，且$\phi'(x)$能被$(x-a)^{m-1}$整除，那么$\phi(x)$能被$(x-a)^m$整除.

证明:根据多项式函数在某一点处的泰勒展开，可知多项式$\phi(x)$在$a$处的幂级数展开为
\begin{equation}
\phi(a)+\frac{\phi(a)'}{1!}(x-a)+\frac{\phi(a)''}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{\phi(a)^k}{k!}(x-a)^k
\end{equation}
由于$\phi(x)$能被$(x-a)$整除，因此$\phi(a)=0$.且由于$\phi'(x)$能被$(x-a)^{m-1}$整除，因此$\phi(a)',\phi(a)'',\cdots,\phi(a)^{(m-1)}$都为0(为什么?).因此$\phi(x)$能被$(x-a)^m$整除.