陶哲轩实分析 定理7.5.1 (方根判别法) 证明
设∑∞n=man是实级数.并设α是(|an|1n)∞n=m的上极限.
(a)若α<1,则级数绝对收敛.
证明:对于任意给定的正实数ε,(|an|1n)∞n=m中比α+ε大的元素只有有限个(为什么?提示:1.上极限是最大的聚点.2.聚点原理.3.反证法),所以存在整数N,使得(|an|1n)∞n=N中的每一个元素都不大于α+ε.现令ε=1−α2,由于((α+12)n)∞n=m是绝对收敛的,所以∑∞n=man是绝对收敛的.
(b)若α>1,则∑∞n=man是条件发散的.
证明:当α>1,说明(|an|)1n)∞n=m中有无限项大于α+12.此时必定是条件发散的.
(c)若α=1,则不能给出任何断言.
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