数列极限,请向后看

一个收敛的数列
\begin{equation}
\label{eq:3.17.22}
a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots
\end{equation}
已知$\lim_{n\to \infty}a_n=a$.这是什么意思呢？按照极限的标准定义，这意味着对于任意固定了的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正整数$N$,使得对于一切满足$n\geq N$的正整数，都有
\begin{equation}
\label{eq:3.17.48}
|a_n-a|<\varepsilon
\end{equation}

 

上面的定义对于初学者来说并不容易理解，我当初就被这么绕的文字看蒙了,有时候觉得自己理解了吧，可是过一会儿又无法理解了.以至于有人称它是微积分学习过程中的第一只拦路虎.一开始不理解没关系，多看几次，频繁地重复思考，不断地在头脑中建立直观，并把这种直观和逻辑结合起来，自然而然就理解了.不管你信不信，反正我是信了：

这个定义的难度很大程度上不是因为概念上的难，而是因为文字叙述上的高度概括.

 

 

理解这个定义的第一个重要层面是理解所谓的“向后看原理(这个词语是自造的)”.

向后看原理：一个数列的前面任意有限项与该数列的收敛性以及收敛到的值无关.

下面我用一个例子具体地解释向后看原理.

 

例1：数列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$.已知$a_n=\frac{1}{n}$.按照极限的标准定义，容易验证该数列收敛，而且$\lim_{n\to\infty}a_n=0$.下面我们将数列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$的前100项改成$1,2,\cdots,100$.经过这样的修改后，按照极限的标准定义，修改后的数列仍旧收敛，而且$\lim_{n\to\infty}a_n=0$.即使你把数列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$的前面1000项修改得面目全非，修改后的数列仍旧收敛于0.你随便报出一个正整数，我把这个正整数之前的项全部修改得面目全非，这样修改之后得到的数列仍旧收敛于0.

 

向后看原理表明，有时候在考虑一个收敛数列的时候，我们不必关心该数列的前面有限项.因为前面的有限项不会对数列的收敛性与收敛到的值造成任何影响.

 

如果人的生命有无限天(长生不死)，或许对向后看原理会有更深的了解.如果人的生命有无限天的话，世界上就没有注定失败的人了.因为即使他前10000天每天都输100元，但是他后面仍有无限天的日子给他赢钱的机会.即使他前999999999999999999999999999天都输了，但是后面他仍有无限的日子给它成功的机会，说不定他正好在第1000000000000000000000000000开始赢钱了呢！可惜人的生命是有限天的，几万天的日子，如果天天输钱，那么他的生命就是输钱的生命.

 

——————————向后看原理与上下极限——————————

 

向后看原理完全排除了一个数列前面有限项的干扰，而这正是数列的上极限和下极限概念的精髓所在.一个数列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$,它的上极限的符号是
\begin{equation}
\label{eq:3.18.54}
\limsup_{n\to\infty} a_n
\end{equation}

为了说明白上极限的定义，我得先介绍$N-$上确界这个概念(这个概念是自造的)：

数列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$的$N-$上确界定义为
\begin{equation}
\label{eq:3.18.57}
\sup\{a_N,a_{N+1},a_{N+2},\cdots\}
\end{equation}

易得当$M>N$时，$M-$上确界不会大于$N-$上确界.然后我们定义上极限为

\begin{equation}
\label{eq:3.19.01}
\lim_{N\to\infty}N-\mbox{上确界}
\end{equation}

下极限的概念类似.可知，上极限和下极限这种概念的存在意义，就是完全排除一个数列的前面有限项(在某种意义下，一个数列的前面有限项并没有多大的价值，它们的存在完全就是为了干扰眼睛)对该数列的上下确界的影响，使得我们的精力集中在“后面的那些项”.