《陶哲轩实分析》引理6.7.1：（指数运算的连续性）

设$x>0$,并设$\alpha$是实数，设$(q_n)_{n=1}^{\infty}$是收敛到$\alpha$的有理数序列，那么$(x^{q_n})_{n=1}^{\infty}$也是收敛序列.进而，如果$(q'_n)_{n=1}^{\infty}$也是收敛到$\alpha$的有理数序列，则
\begin{equation}
\label{eq:8.21.22}
\lim_{n\to\infty}x^{q_n}=\lim_{n\to\infty}x^{q'_n}
\end{equation}

证明:先证明$(x^{q_n})_{n=1}^{\infty}$收敛.由于$(q_n)_{n=1}^{\infty}$收敛，因此存在实数$l$,使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正整数$N$,使得$\forall k>N$,$|q_k-l|<\varepsilon$.

由于当$x>1$时，若有理数$a>b$,则$x^a>x^b$.因此当$x>1$时，$x^lx^{-\varepsilon}=x^{l-\varepsilon}<x^{q_k}<x^{l+\varepsilon}=x^lx^{\varepsilon}$.当$\varepsilon\to 0^{+}$时，$x^{\varepsilon}\to 1$,这是因为如下结论:

设$x>1$,$k\in\mathbf{N}$,当$k\to\infty$时，$x^{\frac{1}{k}}\to 1$.

证明:即证，对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正整数$N$,使得当$p>N$时，便有$0<x^{\frac{1}{p}}-1<\varepsilon$.即$1<x^{\frac{1}{p}}<1+\varepsilon$.即证$1<x<(1+\varepsilon)^p$.根据伯努利不等式，$(1+\varepsilon)^p\geq 1+\varepsilon p$.而对于任意给定的正实数$\varepsilon$,当$p$足够大时，便有$\varepsilon p$大于任意给定的正实数(实数的阿基米德性).因此结论成立.

 

注:此結論即爲高木貞治的「高等微積分」第1.4節的例1.

由于当$\varepsilon\to 0^{+}$时，$x^{\varepsilon}\to 1$,因此$x^{-\varepsilon}\to 1$.可见，当$\varepsilon\to 0$时，$x^{q_k}\to x^l$.因此$(x^{q_n})_{n=1}^{\infty}$收敛.

 

当$x<1$时.由于当$x<1$时，若有理数$a>b$,则$x^a<x^b$.因此当$x<1$时，$x^{l+\varepsilon}<x^{q_k}<x^{l-\varepsilon}$.当$\varepsilon\to 0$时，$x^{\varepsilon}\to 1$,因此$x^{-\varepsilon}\to 1$.可见$\varepsilon\to 0$时，$x^{l+\varepsilon},x^{l-\varepsilon}\to x^l$.因此$x^{q_k}\to x^l$.

 

当$x=1$时，命题是平凡的.

下面证明\ref{eq:8.21.22}式.这太容易了，因为我在上面其实就已经证明了，他们都收敛到$x^l$.