两点到圆的最小距离

有人在哆嗒网提了一道问题.我觉得挺有意思.问题如下:有一动点在圆$(x+a)^2+(y+b)^2=c^2,c>0$上运动，圆外有两点$C(d,e),D(f,g)$，两点到动点的距离之和最小，求此时动点的坐标.

 

 

如图.

 

解决方案如下:当线段CD与圆不相交时，

 

 

做以C,D为焦点，且与圆相切的椭圆.椭圆与圆的切点即为满足条件的点.这是因为，若不然，如图，

若H是满足条件的点，则连接HO,其中O是CD的中点.HO交椭圆于K.则由关于三角形的一个不等式,$HD+HC\geq KC+KD$.而根据椭圆的性质,KC+KD=BC+BD.因此$HC+HD\geq BC+BD$.因此椭圆和圆的切点B是满足条件的点.

 

(顺便指出，这样的椭圆是唯一的.因为最小距离是唯一的，这表明，椭圆的KC+KD已经确定.而且CD的长度和位置已经确定，因此椭圆的一切要素都已经确定，即椭圆是唯一的.)

 

至于怎么求椭圆和圆切点的坐标，我的兴趣不太大.但是总体思路如下:已知FG是椭圆和圆的公切线，根据椭圆的光学性质，角FBD等于角GBC.有了这些条件，切点坐标应该是容易求出的.

 

当线段CD与圆有交点时，十分容易，线段与圆的交点就是满足条件的点，因为三角形的两边之和大于第三边.