CF div 181 300C Beautiful Numbers 組合數 Lucas定理
題目:
如果一個數的各位數字均為a或者b,則這數為good number。如果一個goodnumber的各數字和為good number的話,這個數為excellent。給出a b以及數的長度為len,問長度為len的數中有多少個excellent數
分析:
比較明顯的組合數。
我們可以枚舉有i個a,然後剩餘len-i個b。
如果a*i+(len-i)*b為good,我們可以從len個位置中選出i個位置放a,剩餘的len-i個位置放b。所以當前的組合數為C(len,i)。
答案即為sigma(C(len,k)),a*k+(len-k)*b為good
由於len比較大,所以我們需要進行優化。
C(n,i) = n!/( m!*(n-m)! )
所以我們可以通過求( m!*(n-m)! )的逆元inv,然後n!*inv即為組合數
由於題目時間限制還是比較緊,所以我們需要預處理出階乘
最後時間為46ms,還是比較快的。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> using namespace std; typedef long long ll; #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++) #define rep1(i,n) for(int i=1;i<=n;i++) #define RD3(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z) /******** program ********************/ const int MOD = 1e9+7; const int MAXN = 1e6+5; int a,b,len; ll fac[MAXN]; bool ok(int n){ while(n){ int t = n%10; if(t!=a&&t!=b) return false; n /= 10; } return true; } ll Ext_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ if(b==0){ x = 1; y = 0; return a; } ll res = Ext_gcd(b,a%b,y,x); y -= a/b*x; return res; } ll Inv(ll a){ // 擴展歐几里得求逆元 ll d,x,y; d = Ext_gcd(a,MOD,x,y); if (d==1) return (x%MOD+MOD)%MOD; return -1; } ll C(int n,int m){//组合数公式:n!/( (n-m)!*m! ) = n!*inv( (n-m)!*m! ) return fac[n]*Inv(fac[m]*fac[n-m]%MOD)%MOD; } int main(){ #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("sum.in","r",stdin); //freopen("sum.out","w",stdout); #endif RD3(a,b,len); fac[0] = 1; rep1(i,len) fac[i] = fac[i-1]*i%MOD; ll ans = 0; for(int i=0;i<=len;i++) if( ok(i*a+(len-i)*b) ) ans += C(len,i); printf("%I64d\n",ans%MOD); return 0; }