HOJ 2576 HOJ 2577 Simple Computing I & II 容斥原理
两题的链接先给上：
http://acm.hit.edu.cn/hoj/problem/view?id=2576
http://acm.hit.edu.cn/hoj/problem/view?id=2577
下面两题都是很经典的容斥原理的题目，自己做的时候有点瞎yy，所以下面的表达不太严谨。。。
HOJ 2576 Simple Computing
| Source : ACMGroup | |||
| Time limit : 1 sec | Memory limit : 32 M | ||
Submitted : 391, Accepted : 123
Given n integers x1 x2 ... xn, you should count how many intergers from 1 to m that can be divided by at least one of them.
Input
The first line is an integer c which shows the number of cases. Each case contains 2 lines. The first line has 2 integers n and m. The second line contains n integers. (0<n<11, 0<m<2^31, 0<xi<100)
Output
For each case print the answer in a single line.
Sample Input
2
1 10
2
2 20
3 4
Sample Output
5 10
题目大意：
给出一组数a1...an，问从1到m中能有多少个数能够最少能被这组数中的一个整除
分析：
容斥原理可以解决1-n中与m互质的数的个数问题，做法是把m分解成几个素因子，然后利用容斥原理求解。由于p1..pk都是素数，所以
gcd(pi,pj) == 1。
而这题变成了n个数（包含合数）。所以在求解过程中乘完之后还得除以最大公约数。不然如3,6，m =18时，答案是6。在计算的时候，6，12很明显能够同时被3,6整除。
代码如下：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define debug puts("here")
typedef long long ll;
const int X = 105;
int size;
int di[X];
int gcd(int x,int y){
return x==0?y:gcd(y%x,x);
}
void cal(ll n){
ll sum = 0;
for(int i=1;i<(1<<size);i++){
ll s = 1;
bool ok = false;
for(int j=0;j<size;j++)
if( i & (1<<j) ){
s = s/gcd(s,di[j])*di[j];
ok = !ok;
}
if(ok)
sum += n/s;
else
sum -= n/s;
}
cout<<sum<<endl;
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("suma.txt","r",stdin);
#endif
int ncase,m;
cin>>ncase;
while(ncase--){
scanf("%d%d",&size,&m);
for(int i=0;i<size;i++)
scanf("%d",&di[i]);
cal(m);
}
return 0;
}
另外变形的一题
Simple Computing II
| Source : ACMGroup | |||
| Time limit : 1 sec | Memory limit : 32 M | ||
Submitted : 173, Accepted : 63
Given n integers x1 x2 ... xn, you should count how many intergers from 1 to m that can be divided exactly by only one of them.
Input
The first line is an integer c which shows the number of cases. Each case contains 2 lines. The first line has 2 integers n and m. The second line contains n integers. (0<n<11, 0<m<2^31, 0<xi<100)
Output
For each case print the answer in a single line.
Sample Input
2
1 10
2
2 20
3 4
Sample Output
5
9
题目:
给出n个数，现在问从1到m只能够被这n个数中的一个数整除的个数
分析：
我们上一题是最少能够被这n个数中的一个整除，所以我们可以很容易用容斥解决掉。
那么这题其实就相当于那题的稍微变形，求的是只能够被n个数中的一个整除。直观上
来看，我们需要把两个或者两个以上的去掉。所以还是用容斥来做，只不过在加减的
时候需要控制一下就好了。
1.在只有两个的时候，减掉的个数*2。
2.在加三的时候，由于在减二时多减了，所以我们得要加回来，然后再减掉自己那个部分，刚好是*3。
3.同样，在拥有i个数的时候：
i 奇数 + s*i
i 偶数 - s*i
代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define debug puts("here")
typedef long long ll;
const int X = 105;
int size;
int di[X];
int gcd(int x,int y){
return x==0?y:gcd(y%x,x);
}
void cal(ll n){
ll sum = 0;
for(int i=1;i<(1<<size);i++){
ll s = 1;
int ok = 0;
for(int j=0;j<size;j++)
if( i & (1<<j) ){
s = s/gcd(s,di[j])*di[j];
ok ++;
}
if(ok&1)
sum += n/s*ok;
else
sum -= n/s*ok;
}
cout<<sum<<endl;
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("suma.txt","r",stdin);
#endif
int ncase,m;
cin>>ncase;
while(ncase--){
scanf("%d%d",&size,&m);
for(int i=0;i<size;i++)
scanf("%d",&di[i]);
cal(m);
}
return 0;
}
