次小生成树 （附：poj1679）

 

次小生成树：

 

在求最小生成树时，用数组path[i][j]来表示MST中i到j最大边权。

求完后，直接枚举所有不在MST中的边，把它加入到MST中构成一棵新的树，且该树有环，此环是由刚加入的边(I,j)造成的，所以可以通过删除path[i][j]即可得到新的一颗树，且所有的该类树中必有一棵为次小生成树。

比如如图所示：

G,H不是MST上的边，通过加入边(G,H),得到一个环（B,H,G）,然后由于在计算最小生成树时已经计算出G,H之间最大边权为path[G][H] = BH，所以通过删除BH即可得到一棵此时最小的生成树，然后更新答案即可

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int X = 105;
const int INF = 100000000;

int map[X][X],dis[X]；
int path[X][X];///记录i,j路径上的最大边权
int pre[X];///前驱顶点
int n;  ///顶点数
bool use[X],in[X][X];

int prim()
{
    memset(use,false,sizeof(use));
    memset(pre,0,sizeof(pre));
    memset(in,false,sizeof(in));

    for(int i=0;i<=n;i++)
        dis[i] = INF;
    dis[1] = 0;
    int ans = 0;

    int MIN,k,p;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        MIN = INF;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(!use[j]&&MIN>dis[j])
                MIN = dis[k = j];
        if(MIN==INF)
            return INF;

        p = pre[k];
        in[p][k] = in[k][p] = true;
        path[p][k] = path[k][p] = MIN;//由于还没有算过顶点k，所以直接等于MIN

        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(use[j])  //更新已经在MST中的顶点
                path[j][k] = path[k][j] = max(path[j][k],path[p][k]);

        use[k] = true;
        ans += MIN;

        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(!use[j]&&dis[j]>map[k][j])
                dis[j] = map[k][j],pre[j] = k;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    //freopen("sum.in","r",stdin);
    //freopen("sum.out","w",stdout);
    int t,m,x,y,z;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                map[i][j] = map[j][i] = INF;
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            map[x][y] = map[y][x] = z;
        }
        int ans = prim();
        int ok = true;
        for(int i=1;i<=n&&ok;i++)    //枚举找到不在MST上的边
            for(int j=1;j<=n&&ok;j++)
                if(map[i][j]!=INF&&!in[i][j])
                    if(ans==ans-path[i][j]+map[i][j])
                        ok = false;
        if(ok)
            printf("%d\n",ans);
        else
            printf("Not Unique!\n");
    }
    return 0;
}