数值分析笔记（3）——数值计算中的原则

目录

• 数值计算中的原则
  • 避免两个相近的数相减
  • 防止大数“吃掉”小数
  • 绝对值太小的数不宜作除数
  • 注意简化计算程序，减少计算次数
  • 选用数值稳定性好的算法

数值计算中的原则

避免两个相近的数相减

如上图所示，因为\(x\)和\(y\)非常相近，所以\(x-y << 0\)，而\(x - y\)又位于分母，所以会导致误差变得非常大。要避免的另一方面的原因是，会导致有效数字位数大量减少，而我们要尽量保证有效数字多。

例题：

可以看到第二个解有效数字太少，那么就需要改变算法：

这里“根与系数”的关系指的是：

\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\\ x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \]

防止大数“吃掉”小数

吃掉即，与小数的计算过程对最终结果不起作用。

例子：

这是因为这里的变量使用了8位来储存，因为在转换到同一个量级的时候，两个小数都要被转换成9位，导致最后一位溢出，最终变成\(0.0 \times 10^8\)，从而导致结果出错，小数被“吃掉”。这个问题是由计算机的存储数据的方式造成的。

解决方法：

绝对值太小的数不宜作除数

如果商特别大，下面继续加减乘除运算的时候可能会出现“大数吃掉小数”。

例如，如果这里的y恰好就是那个很小的数，那么就可能导致商绝对误差很大。

注意简化计算程序，减少计算次数

每一步计算都可能出现舍入误差，所以步骤太多的话可能会导致误差过大。

可以转换成下图公式：

选用数值稳定性好的算法

例题：求积分

可以看到第一步就出现了舍入误差，接着积累下去：