[Leetcode] 0069. x 的平方根

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69. x 的平方根
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  解法

69. x 的平方根

题目描述

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

 

示例 1：

输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

 

提示：

• 0 <= x <= 231 - 1

解法

方法一：袖珍计算器算法

「袖珍计算器算法」是一种用指数函数 $\exp$ 和对数函数 $\ln$ 代替平方根函数的方法。我们通过有限的可以使用的数学函数，得到我们想要计算的结果。

我们将 $\sqrt{x}$写成幂的形式 $x^{1/2}$，再使用自然对数 $e$ 进行换底，即可得到$\sqrt{x} = x^{1/2} = (e ^ {\ln x})^{1/2} = e^{\frac{1}{2} \ln x}$这样我们就可以得到 $\sqrt{x}$的值了。

注意： 由于计算机无法存储浮点数的精确值，而指数函数和对数函数的参数和返回值均为浮点数，因此运算过程中会存在误差。例如当 $x = 2147395600$时，$e^{\frac{1}{2} \ln x}$的计算结果与正确值 $46340$ 相差 $10^{-11}$，这样在对结果取整数部分时，会得到 $46339$这个错误的结果。

因此在得到结果的整数部分 $\textit{ans}$后，我们应当找出 $\textit{ans}$ 与$\textit{ans} + 1$中哪一个是真正的答案。

复杂度分析

时间复杂度：$O(1)$，由于内置的 $exp$ 函数与 $log$ 函数一般都很快，我们在这里将其复杂度视为 $O(1)$。

空间复杂度：$O(1)$。

Python3

class Solution:
    def mySqrt(self, x: int) -> int:
        if x == 0:
            return 0
        ans = int(math.exp(0.5 * math.log(x)))
        return ans + 1 if (ans + 1) ** 2 <= x else ans

C++

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x == 0) {
            return 0;
        }
        int ans = exp(0.5 * log(x));
        return ((long long)(ans + 1) * (ans + 1) <= x ? ans + 1 : ans);
    }
};

方法二：二分查找

由于 $x$ 平方根的整数部分 $\textit{ans}$是满足 $k^2 \leq x$的最大 $k$ 值，因此我们可以对$k$进行二分查找，从而得到答案。

二分查找的下界为 $0$，上界可以粗略地设定为 $x$。在二分查找的每一步中，我们只需要比较中间元素 $\textit{mid}$的平方与 $x$ 的大小关系，并通过比较的结果调整上下界的范围。由于我们所有的运算都是整数运算，不会存在误差，因此在得到最终的答案 $\textit{ans}$后，也就不需要再去尝试 $\textit{ans} + 1$了。

复杂度分析

时间复杂度：$O(\log x)$，即为二分查找需要的次数。

空间复杂度：$O(1)$。

Python3

class Solution:
    def mySqrt(self, x: int) -> int:
        l, r, ans = 0, x, -1
        while l <= r:
            mid = (l + r) // 2
            if mid * mid <= x:
                ans = mid
                l = mid + 1
            else:
                r = mid - 1
        return ans

C++

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        int l = 0, r = x, ans = -1;
        while (l <= r) {
            int mid = l + (r - l) / 2;
            if ((long long)mid * mid <= x) {
                ans = mid;
                l = mid + 1;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
};

作者：野哥李
微信公众号：AI算法学习社
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