KD树（k-d tree）

维基百科介绍： http://en.wikipedia.org/wiki/Kdtree

 

　　KD树是一种能在 O(N) 时间内把平面划分成若干个区域，然后在均摊 O(logN) 的时间内找到某个区域内所有点的数据结构。

其思想是，每次把当前处理的区域按照点数分成两部分，然后对两部分进行递归处理。。。

分成两部分有两种策略:

　　一种是横着竖着横着竖着交替划分。。

　　一种是把坐标跨度大的那一维划分成两部分。

似乎没什么影响。

上图是一种可行的划分方式。每次找到当前处理点集中的中点，以这个中点为分界线把区间划分成两部分和。注意中点是作为分界线不参与下一轮处理。

查询一个点的最近点时，首先令最近距离为，然后在KD树中查找，首先和当前区间的中点求一次距离更新答案，然后再根据该点和中点的关系决定是去左区间还是右区间，如果正好在分界线上那么两边都过去吧。

这里还有个问题，可能点被分到了左区间，但是可能和右区间的某个点比较近。那么怎么办。？

假设这个点到分界线的距离已经是大于等于当前最优答案了，那么另一个区间的所有点到这个点的距离都比当前最优答案远，只有这时候不需要考虑另一个区间。

复杂度分析均摊下来的确是 O(N)，详情可以参观一下《计算几何：算法与应用》那本书。

STL中提供了一个叫做nth_element的函数，可以在O(n)的复杂度下找到序列的第k大数并且把序列以第k大为界分为两半，用这个就能写出很短的建树过程了。

bool Div[MaxN];\\记录这个区间是用什么体位划分的


void BuildKD(int l, int r, Point p[])\\记得备份一下p
{ 
       if (l > r) return; 

       int mid = l + r >> 1; 

       int minX, minY, maxX, maxY; 

       minX = min_element(p + l, p + r + 1, cmpX)->x; 

       minY = min_element(p + l, p + r + 1, cmpY)->y; 

       maxX = max_element(p + l, p + r + 1, cmpX)->x; 

       maxY = max_element(p + l, p + r + 1, cmpY)->y; 

       Div[mid] = (maxX - minX >= maxY - minY); 

       nth_element(p + l, p + mid, p + r + 1, Div[mid] ? cmpX : cmpY);

       BuildKD(l, mid - 1, p); 

       BuildKD(mid + 1, r, p);

}

查找的时候照着思路写就可以了。

void Find(int l, int r, Point a, Point p[])
{ 
  　　if (l > r) return; 

 　　 int mid = l + r >> 1; 

　　  long long dist = dist2(a, p[mid]); 

　　  if (dist > 0)//如果有重点不能这样判断 

        res = min(res, dist); 

 　　 long long d = Div[mid] ? (a.x - p[mid].x) : (a.y - p[mid].y); 

 　　 int l1, l2, r1, r2; l1 = l, l2 = mid + 1; r1 = mid - 1, r2 = r; 

 　　 if (d > 0)     swap(l1, l2), swap(r1, r2); 

  　　Find(l1, r1, a, p); 

  　　if (d * d < res)      Find(l2, r2, a, p);

}

 

这份KD树是参照佐倉杏子的代码学习的。Orz。
相关题目：In case of failure

#include<iostream>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 100000;

 

struct Point{

　　int x,y;

}p[N+10],tmp[N+10];

int Div[N+10];

long long ret;

 

int cmpx(const Point &a,const Point &b){

　　return a.x < b.x;

}

int cmpy(const Point &a,const Point &b){

　　return a.y < b.y;

}

 

void Build(int l,int r,Point Q[]){

　　if(l > r) return;

　　int m = (l+r)>>1;

　　int minx = min_element(Q+l,Q+r+1,cmpx)->x;

　　int miny = min_element(Q+l,Q+r+1,cmpy)->y;

　　int maxx = max_element(Q+l,Q+r+1,cmpx)->x;

　　int maxy = max_element(Q+l,Q+r+1,cmpy)->y;

　　Div[m] = (maxx-minx) >= (maxy-miny);

　　nth_element(Q+l,Q+m,Q+r+1,(Div[m]?cmpx:cmpy));

　　Build(l,m-1,Q);

　　Build(m+1,r,Q);

}

long long dis(Point a,Point b){

　　return 1LL*abs(a.x-b.x)*abs(a.x-b.x)+1LL*abs(a.y-b.y)*abs(a.y-b.y);

}

void find(int l,int r,Point q){

　　if(l > r) return;

　　int m = (l+r)>>1;

　　long long dist = dis(q,tmp[m]);

　　if( dist > 0 ) ret = min(ret,dist);
　　
　　int d = Div[m] ? (q.x-tmp[m].x) : (q.y-tmp[m].y);

　　int l1,l2,r1,r2;

　　l1 = l, r1 = m-1;

　　l2 = m+1,r2 = r;

　　if(d > 0) swap(l1,l2),swap(r1,r2);

　　find(l1,r1,q);

　　if( 1LL*d*d < ret ) 

　　find(l2,r2,q);

}

int main(){

　　int t,n; scanf("%d",&t);

　　while(t-- && scanf("%d",&n)){

　　　　for(int i = 0; i < n; i++)

　　　　　　scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);

　　　　memcpy(tmp,p, sizeof(p));

　　　　Build(0,n-1,tmp);

　　　　for(int i = 0; i < n; i++){

　　　　　　ret = (1LL<<60);

　　　　　　find(0,n-1,p[i]);

　　　　　　printf("%I64d\n",ret);

　　　　}

　　}
　　
　　return 0;
 
}