欧拉函数
欧拉函数直接计算公式
欧拉函数的定义: E（N）= ( 区间[1,N-1] 中与 N 互质的整数个数).
对于 积性函数 F（X*Y），当且仅当 GCD（X，Y）= 1 时， F（X*Y） = F（X）* F（Y）
任意整数可因式分解为如下形式：
其中( p1, p2 ... pk 为质数, ei 为次数 )
所以
因为 欧拉函数 E（X）为积性函数， 所以
对于 ， 我们知道 因为pi 为质数，所以 [ 1, pi-1 ] 区间的数都与 pi 互质
对于 区间[ 1, ] ，共有
个数， 因为
只有一个质因子，
所以与 约数大于1 的必定包含 质因子
， 其数量为
所以
又 E（N）为积性函数，所以可得 ：
又因为 其中( p1, p2 ... pk 为质数, ei 为次数 )
但是此计算公式，除法过多，所以计算速度较慢
在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值 ( P为N的质因子 )
若(N%P==0 && (N/P)%P==0) 则有:E(N)=E(N/P)*P;
若(N%P==0 && (N/P)%P!=0) 则有:E(N)=E(N/P)*(P-1);
直接计算欧拉函数值代码：
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#include<stdio.h> #include<string.h> #include<stdlib.h> #include<math.h> typedef long long LL; LL Eular( LL x ) { if( x == 0 ) return 0; LL res = 1, t = x; for(LL i = 2; i <= (LL)sqrt(1.*x); i++) { if( t%i == 0 ) { res *= (i-1); t /= i; while( t%i ==0 ) { res *= i; t /= i; } } if( t == 1 ) break; } if( t > 1 ) { res *= (t-1); } return res; } int main() { LL x; while( scanf("%lld", &x) != EOF) printf("%lld\n", Eular(x) ); return 0; }
关于欧拉函数其他的证明方式：
证明过程如下：
1. 容易想到：当n为素数时，PHI(n) = n - 1。因为每个比n小的正整数都和n互素。
当n为素数p的k次方时，PHI(n) = p ^ k - p ^ (k - 1)。因为在1到n之间的正整数只有p的倍数和n不互素，这样的数有(p ^ k / p)个。
2. 如果m和n互素，即GCD(m, n) = 1，那么PHI(m * n) = PHI(m) * PHI(n)。
用中国剩余定理可以证明，证明的思路是建立这样一种一一对应的关系(a, b) <-> x，其中正整数a小于m并且gcd(a, m) = 1，正整数b小于n并且gcd(b, n) = 1，正整数x小于m*n并且gcd(m*n, x) = 1。证明过程如下：
1)根据中国剩余定理，如果m和n互素，那么关于未知量x的方程组x % m = a, x % n = b(0 <= a < m, 0 <= b < n)，当0 <= x < m * n时存在并且仅存在一个解。容易证明，如果两个这样的方程组有相同的m, n但是a, b不同，那么他们的解x一定不同。
2)首先用反正法证明：gcd(m, a) = 1且gcd(n, b) = 1是gcd(m*n, x) = 1的必要条件：假设gcd(a, m) = k > 1，由此可得：a = a' * k; m = m' * k => x = k' * m + a = k' * k * m' + k * a' = k * (k' * m' + a'); 所以gcd(x, m) = k > 1。同理可证，如果gcd(b, n) > 1， 那么gcd(x, n) > 1。所以x和m * n互素的必要条件是a和m互诉且b和n互素。
3)接下来我们证明充分性：由x % m = a 可以得到x = k * m + a；由欧几里德算法求最大公约数的过程（就不证明了，呵呵，还得想）可以知道gcd(x, m) = gcd(m, a) = 1；同理可得，如果gcd(n, b) = 1那么gcd(x, n) = 1。接下来很容易得到：gcd(m*n, x) = 1。从而证明了充分性。
4)上面三步的结论表明，数对(a, b)是可以和x建立起一一对应的关系的，所以有多少个不同的(a, b)，就有多少个不同的x。
3.将n分解成素数乘积后，显然对于任意的i, j(i != j)都满足 pi ^ ki和pj ^ kj是互素的，于是可以的到上面的公式。
使用素因子性质预处理出欧拉函数代码：
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跟据上面的公式，可以得到关于欧拉函数的递推关系： 假设素数p能整除n，那么 如果p还能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * p; 如果p不能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * (p - 1); 下面的程序是求1到10000之间所有整数的欧拉函数： char mark[10000] = {0}; int prime[1230]; int size = 0; int phi[10000]; int main () { int i, j; /*筛法求素数*/ for (i = 2; i < 10000; i++) { if (!mark[i]) prime[size++] = i; for (j = 0; j < size && prime[j] * i < 10000; j++) { mark[prime[j] * i] = 1; if (i % prime[j] == 0) break; } } /*求欧拉函数*/ phi[1] = 1; for (i = 2; i < 10000; i++) { if (!mark[i]) { phi[i] = i - 1; continue; } for (j = 0; j < size && prime[j] * prime[j] <= i; j++) { if (i % prime[j] == 0) { if (i / prime[j] % prime[j] == 0) phi[i] = prime[j] * phi[i / prime[j]]; else phi[i] = (prime[j] - 1) * phi[i / prime[j]]; break; } } } return 0; } 从别人那里学到的对求欧拉函数部分的优化，使每个数的欧拉函数只由它的最小素因子求出: phi[1] = 1; for (i = 1; i < 10000; i++) { for (j = 0; j < size && prime[j] * i <= 10000; j++) { if (i % prime[j] == 0) { phi[prime[j] * i] = prime[j] * phi[i]; break; } else { phi[prime[j] * i] = phi[i] * (prime[j] - 1); } } ｝
用递推的方法来实现欧拉函数
欧拉函数可以很方便的计算小于某个数N但N互质的数的个数,
即M(1<=M<N)且gcd(M, N)=1, M的个数很容易由欧拉函数来计算出来.
欧拉函数的表达式为 E（N）= N*(1-1/f_1)*(1-1/f_2)*(1-1/f_3)....依次类推,
其中f_1, f_2, f_3等是N的不相同的质因子.
例如 12=2*2*3 那么12有两个不同的质因子2, 3,
由欧拉函数可得小于12但与12互质的个数为
12*(1-1/2)(1-1/3)=4,
列举为1, 5, 7, 11.
那么在实际实现欧拉函数的时候, 可以把一个数进行质因子分解, 依次代入欧拉函数进行求解. 我们今天介绍一种用欧拉函数自身的递推关系来实现的方法.
首先介绍这种递推关系, 假设数N有m个不相同的质因子f_1, f_2,f_3....f_m.
那么数(N/f_1)有多少个不同的质因子呢?
分成两种情况来考虑,
第一种情况, N只包含一个f_1因子, 那么N/f_1有m-1个因子f_2,f_3,...,f_m.
我们考察N/f_1和N的欧拉函数形式E(N) = N*(1-1/f_1)*(1-1/f_2)*(1-1/f_3)*...*(1-1/f_m) E(N/f_1) = N/f_1*(1-1/f_2)*(1-1/f_3)*...*(1-1/f_m). 把(1-1/f_1)化为(f_1 - 1)/f_1则可以显然看到E(N) = (f_1 - 1)*E(N/f_1).
第二种情况, N包含一个以上的f_1因子, 那么N/f_1包含了与N相同的质因子个数且此时两者的欧拉函数分别记为
E(N) = N*(1-1/f_1)*(1-1/f_2)*(1-1/f_3)*...*(1-1/f_m)
E(N/f_1) = N/f_1*(1-1/f_1)*(1-1/f_2)*(1-1/f_3)*...*(1-1/f_m).
这个递推关系更明显了E(N) = (f_1)*E(N/f_1).
因此这两种递推关系只与质因子f_1有关, 而f_1可以是N的任意一个质因子.
用代码来实现时可以取N的最小质因子来简化实现过程.
在实际代码过程可以和搜索质数的"筛子法"相结合, 因为"筛子法"相当于优先找到了每个数的最小质因子.
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const int size = 1000001; int factor[size]; //factor[n]记录了n的最小质因子 bool visited[size]; int phy[size]; //phy[n]记录了与n互质且小于n的个数. void getPrime() { memset(factor, -1, sizeof(factor)); memset(visited, false, sizeof(visited)); for (int i=2; i<size; i++) { if (visited[i]) { //////////////////////////这部分是递归关系的实现////////////////////////////// int k = i/factor[i]; if (k%factor[i] == 0) { phy[i] = phy[k]*factor[i]; }else{ phy[i] = phy[k]*(factor[i] - 1); } ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// continue; } phy[i] = i -1; //i本身是质数, 与i互质的个数为i-1. for (int j=i+i; j<size; j+=i) { visited[j] = true; if (factor[j] == -1) { factor[j] = i; //用i筛的过程, 就找到了每个以i为最小质因子的数. } } }
