Bron–Kerbosch算法-最大独立集与最大团
---恢复内容开始---
Bron-Kerbosch 算法计算图的最大全连通分量(团clique)
最大独立集： 顶点集V中取 K个顶点，其两两间无连接。
最大团： 顶点集V中取 K个顶点，其两两间有边连接。
最大团中顶点数量 = 补图的最大独立集中顶点数量
补图定义：
G = <V, E>
the complement of G, \bar{G} = <V, V \times V - E>
详见连接： http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A3%9C%E5%9C%96
更详细的： http://en.wikipedia.org/wiki/Bron%E2%80%93Kerbosch_algorithm
就可以通过求其补图中最大团中顶点数量,就可得出原图中最大独立集中顶点数量了.
对于求解 最大团中顶点数量 的搜索过程中用到的剪枝,如下
1. 剪枝1：常用的指定顺序, 即枚举第i个顶后, 以后再枚举时枝考虑下标比大它的, 避免重复。 2. 剪枝2：自己开始从前往后的枚举顶点, TLE两次. 后来从后往前枚举顶点，发现可以利用顶点之间的承袭性.我用num[i] 记录的可选顶点集合为 V[i, i+1, ... , n] 中的最大团数目， 目标是求num[1]. 分析易知, num[i] = num[i+1] 或者 num[i]+1 (num[1...n] 具有非降的单调性,从后往前求) 由这个式子以及num[]信息的记录，使得我们可以增加两处剪枝: 3.上/下剪枝：假设当前枚举的是顶点x, 它的第一个邻接顶是i (标号一定比x大，即num[i]已经求出) 我们可以知道， 若 1 + num[i] <= best, 那么是没没要往下枚举这个顶点x了，因为包含它的团是不可能超过我们目前的最优值的。 4. 立即返回剪枝: 由于num[i]最大可能为num[i+1]+1, 所以在枚举顶点i时，只要一更新best，可知此时的num[i]就为num[i+1]+1了，不需要再去尝试找其他的方案了，所以应立即返回.
比较容易理解得C/C++代码:
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> int best; int num[maxn]; // int x[maxn]; int path[maxn]; int g[maxn][maxn], n; bool dfs( int *adj, int total, int cnt ){ // total: 与u相连的顶点数量 , cnt表示当前团的数量 int i, j, k; int t[maxn]; if( total == 0 ){ // 当此团中最后一个点 没有 比起序号大 的顶点相连时 if( best < cnt ){ // 问题1：best为最大团中顶点的数量 // for( i = 0; i < cnt; i++) path[i] = x[i]; best = cnt; return true; } return false; } for( i = 0; i < totl; i++){ // 枚举每一个与 u 相连的顶点 adj[i] if( cnt+(total-i) <= best ) return false; // 剪枝1， 若当前 顶点数量cnt 加上还能够增加的最大数量 仍小于 best则 退出并返回false if( cnt+num[adj[i]] <= best ) return false; // 剪枝2， 若当前 顶点数量cnt 加上 包含adj[i]的最大团顶点数 仍小于 best则 退出并返回false // x[cnt] = adj[i]; for( k = 0, j = i+1, j < total; j++ ) // 扫描 与u相连的顶点 中与 adj[u]相连的顶点 并存储到 数组 t[]中，数量为k if( g[ adj[i] ][ adj[j] ] ) t[ k++ ] = adj[j]; if( dfs( t, k, cnt+1 ) ) return true; } return false; } int MaximumClique(){ int i, j, k; int adj[maxn]; if( n <= 0 ) return 0; best = 0; for( i = n-1; i >= 0; i-- ){ // x[0] = i; for( k = 0, j = i+1, j < n; j++ ) // 遍历 [i+1, n] 间顶点， if( g[i][j] ) adj[k++] = j; dfs( adj, k, 1 ); // *adj, total, cnt num[i] = best; // 得出顶点 i, 出发构成最大团 中顶点数量 } return best; }
关于 Bron-Kerbosch算法
基础形式是一个递归回溯的搜索算法.通过给定三个集合 (R,P,X).
初始化集合R,X分别为空,而集合P为所有顶点的集合.
而每次从集合P中取顶点{v}, 当集合中没有顶点时,两种情况.
1. 集合 R 是最大团, 此时集合X为空.
2. 无最大团,此时回溯.
对于每一个从集合P中取得得顶点{v},有如下处理:
1. 将顶点{v}加到集合R中, 集合P,X 与 顶点{v}得邻接顶点集合 N{v}相交, 之后递归集合 R,P,X
2. 从集合P中删除顶点{v},并将顶点{v}添加到集合X中.
若 集合 P,X都为空, 则集合R即为最大团.
总的来看就是每次从 集合P中取v后,再在 P∩N{v} 集合中取,一直取相邻,保证集合R中任意顶点间都两两相邻...
伪代码过程:
BronKerbosch1(R,P,X): if P and X are both empty: report R as a maximal clique for each vertex v in P: BronKerbosch1(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v)) P := P \ {v} X := X ⋃ {v}
对于这个基础的算法,效率不高,因为其递归搜索了所有情况,其中有些不是最大团的也进行了搜索.
为了节省时间和让算法更快的回溯,我们可以通过设定关键点'pivot'{u},通过简单分析,我们知道.
对于任意的最大团,其必须包括顶点{u}或者Non-N{u},(反面关系).不然其必然需要通过添加它们来进行扩充,这显然矛盾.所以.我们仅仅需要测试 顶点{u}以及 Non-N{u}即可.这样可以节省递归的时间.
伪代码过程
BronKerbosch2(R,P,X): if P and X are both empty: report R as a maximal clique choose a pivot vertex u in P ⋃ X for each vertex v in P \ N(u): BronKerbosch2(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v)) P := P \ {v} X := X ⋃ {v}
疑问,若 P \ N(u) 为空, 则所有顶点皆与u相邻,则此时应该将u加入最大团则为最优...
因为通过选择特殊点,是算法最小化递归调用,所以一定程度上节省了时间.另外一种方法是用过放弃选择特殊点,而是利用降序的方式,保证在线性的时间求的子图的.
其实这里也可以用特殊点结合起来,效果会更优.
最大团.
伪代码过程
BronKerbosch3(G): P = V(G) R = X = empty for each vertex v in a degeneracy ordering of G: BronKerbosch2(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v)) P := P \ {v} X := X ⋃ {v}
---恢复内容结束---
第三类优化模板 C/C++实现:
#include<cstdio> #include<cstring> #define N 1010 bool flag[N], a[N][N]; int ans, cnt[N], group[N], n, vis[N]; // 最大团： V中取K个顶点，两点间相互连接 // 最大独立集： V中取K个顶点，两点间不连接 // 最大团数量 = 补图中最大独立集数 bool dfs( int u, int pos ){ int i, j; for( i = u+1; i <= n; i++){ if( cnt[i]+pos <= ans ) return 0; if( a[u][i] ){ // 与目前团中元素比较，取 Non-N(i) for( j = 0; j < pos; j++ ) if( !a[i][ vis[j] ] ) break; if( j == pos ){ // 若为空，则皆与 i 相邻，则此时将i加入到 最大团中 vis[pos] = i; if( dfs( i, pos+1 ) ) return 1; } } } if( pos > ans ){ for( i = 0; i < pos; i++ ) group[i] = vis[i]; // 最大团 元素 ans = pos; return 1; } return 0; } void maxclique() { ans=-1; for(int i=n;i>0;i--) { vis[0]=i; dfs(i,1); cnt[i]=ans; } }
