归并排序(Merge Sort)
1、定义
归并排序(Merge Sort)是利用"归并"技术来进行排序。归并是指将若干个已排序的子文件合并成一个有序的文件。
2、两路归并算法
(1)、算法基本思路
设两个有序的子文件(相当于输入堆)放在同一向量中相邻的位置上:R[low..m],R[m+1..high],先将它们合并到一个局部的暂存向量R1(相当于输出堆)中,待合并完成后将R1复制回R[low..high]中。
(2)合并过程
合并过程中,设置i,j和p三个指针,其初值分别指向这三个记录区的起始位置。合并时依次比较R[i]和R[j]的关键字,取关键字较小的记录复制到R1[p]中,然后将被复制记录的指针i或j加1,以及指向复制位置的指针p加1。
重复这一过程直至两个输入的子文件有一个已全部复制完毕(不妨称其为空),此时将另一非空的子文件中剩余记录依次复制到R1中即可。
(3)动态申请R1
实现时,R1是动态申请的,因为申请的空间可能很大,故须加入申请空间是否成功的处理。
(4)、归并算法
归并排序有两种实现方法:自底向上和自顶向下。
3、归并排序
1、 自底向上的方法
(1) 自底向上的基本思想
自底向上的基本思想是:第1趟归并排序时,将待排序的文件R[1..n]看作是n个长度为1的有序子文件,将这些子文件两两归并,若n为偶数,则得到 个长度为2的有序子文件;若n为奇数,则最后一个子文件轮空(不参与归并)。故本趟归并完成后,前 个有序子文件长度为2,但最后一个子文件长度仍为1;第2趟归并则是将第1趟归并所得到的 个有序的子文件两两归并,如此反复,直到最后得到一个长度为n的有序文件为止。
上述的每次归并操作,均是将两个有序的子文件合并成一个有序的子文件,故称其为"二路归并排序"。类似地有k(k>2)路归并排序。
(2) 一趟归并算法
分析:
在某趟归并中,设各子文件长度为length(最后一个子文件的长度可能小于length),则归并前R[1..n]中共有 个有序的子文件:R[1..length],R[length+1..2length],…, 。
注意:
调用归并操作将相邻的一对子文件进行归并时,必须对子文件的个数可能是奇数、以及最后一个子文件的长度小于length这两种特殊情况进行特殊处理:
① 若子文件个数为奇数,则最后一个子文件无须和其它子文件归并(即本趟轮空);
② 若子文件个数为偶数,则要注意最后一对子文件中后一子文件的区间上界是n。
具体算法如下:
(3)二路归并排序算法
注意:
自底向上的归并排序算法虽然效率较高,但可读性较差。
2、自顶向下的方法
采用分治法进行自顶向下的算法设计,形式更为简洁。
(1)分治法的三个步骤
设归并排序的当前区间是R[low..high],分治法的三个步骤是:
①分解:将当前区间一分为二,即求分裂点
②求解:递归地对两个子区间R[low..mid]和R[mid+1..high]进行归并排序;
③组合:将已排序的两个子区间R[low..mid]和R[mid+1..high]归并为一个有序的区间R[low..high]。
递归的终结条件:子区间长度为1(一个记录自然有序)。
(2)具体算法
(3)算法MergeSortDC的执行过程
算法MergeSortDC的执行过程如下图所示的递归树。
4、算法分析
(1)、稳定性
归并排序是一种稳定的排序。
(2)、存储结构要求
可用顺序存储结构。也易于在链表上实现。
(3)、时间复杂度
对长度为n的文件,需进行 趟二路归并,每趟归并的时间为O(n),故其时间复杂度无论是在最好情况下还是在最坏情况下均是O(nlgn)。
(4)、空间复杂度
需要一个辅助向量来暂存两有序子文件归并的结果,故其辅助空间复杂度为O(n),显然它不是就地排序。
注意:
若用单链表做存储结构,很容易给出就地的归并排序。。