算法题：求一个序列S中所有包含T的子序列（distinct sub sequence）
题：
给定一个序列S以及它的一个子序列T，求S的所有包含T的子序列。例：
S = [1, 2, 3, 2, 4]
T = [1, 2, 4]
则S的所有包含T的子序列为：
[1, 2, 3, 2, 4]
[1, 2, 3, 4]
[1, 2, 2, 4]
[1, 2, 4]
解：
首先可以拆解为两个问题：
1. 求S的所有子序列；其中又涉及到去重的问题。
2. 求S的所有子序列中包含T的子序列。
暂时先不考虑去重，看看问题1怎么解：
一、求S的子序列
单纯求一个序列的所有子序列的话，就是求序列的所有组合。一般的思路为：S中每个元素有输出和不输出两种状态，解集为所有元素是否输出的状态组合。由于两个元素有两种状态，所以解集的大小就是2的n次方（n为S的长度），也就是一个长度为n的二进制序列的所有可能值。所以求所有子序列的代码：
void PrintDistinctSubByFlags(char* seq, int seq_len, bool* seq_flags) { printf("\r\n"); char buf[] = " "; for (int i = 0; i < seq_len; ++i) { if (seq_flags[i]) { buf[0] = seq[i]; printf(buf); } } } void DistinctSubInner(char* seq, int seq_len, bool* seq_flags, int seq_flags_idx) { if (seq_flags_idx >= seq_len) { PrintDistinctSubByFlags(seq, seq_len, seq_flags); return; } seq_flags[seq_flags_idx] = false; DistinctSubInner(seq, seq_len, seq_flags, seq_flags_idx + 1); seq_flags[seq_flags_idx] = true; DistinctSubInner(seq, seq_len, seq_flags, seq_flags_idx + 1); } void DistinctSub(char* whole_seq) { if(!whole_seq || !*whole_seq) { return; } bool* seq_flags = new bool[strlen(whole_seq) + 1]; DistinctSubInner(whole_seq, strlen(whole_seq), seq_flags, 0); delete seq_flags; }
可以换一个方式来写，不使用位数组标记，而是从序列的首元素开始处理，分输出和不输出两种情况，再递归处理首元素之外的子序列，这样可以直接生成输出序列（只包含要输出的元素）：
void DistinctSubInner(char* whole_seq, char* sub_seq, int sub_seq_len) { if (!*whole_seq) { PrintDistinctSub(sub_seq_len); return; } sub_seq[sub_seq_len] = *whole_seq; DistinctSubInner(whole_seq + 1, sub_seq, sub_seq_len + 1); // output head of S DistinctSubInner(whole_seq + 1, sub_seq, sub_seq_len); // not ouput head of S } void DistinctSub(char* whole_seq) { if(!whole_seq || !*whole_seq) { return; } sub_seq = new char[strlen(whole_seq)]; DistinctSubInner(whole_seq, sub_seq, 0); delete sub_seq; }
在这个基础上，可以再加入子序列的匹配逻辑：
二、求S中所有包含T的子序列
void DistinctSubInner(char* whole_seq, char* min_seq, char* sub_seq, int sub_seq_len) { if (!*whole_seq) { if(!*min_seq) { PrintDistinctSub(sub_seq, sub_seq_len); } else { // unmatch sub sequence } return; } sub_seq[sub_seq_len] = *whole_seq; if (*whole_seq == *min_seq) { // 1. output head of S and match head of T DistinctSubInner(whole_seq + 1, min_seq + 1, sub_seq, sub_seq_len + 1); } // 2. output head of S but do not match head of T DistinctSubInner(whole_seq + 1, min_seq, sub_seq, sub_seq_len + 1); // 3. do not ouput head of S DistinctSubInner(whole_seq + 1, min_seq, sub_seq, sub_seq_len); } void DistinctSub(char* whole_seq, char* min_seq) { if(!whole_seq || !*whole_seq || !min_seq || !*min_seq) { return; } char* sub_seq = new char[strlen(whole_seq) + 1]; DistinctSubInner(whole_seq, min_seq, sub_seq, 0); delete sub_seq; }
这里S的首元素是否输出和是否和T的首元素进行匹配一共有三种组合：
1. S的首元素输出，但是不和T的首元素匹配（不相同无法匹配或故意不匹配）；
2. S的首元素输出，且S的首元素与T的首元素相同，进行匹配；
3. S的首元素不输出。
如果S的首元素不输出的话，自然就不能和T进行匹配，所以没有第4种可能。
那么，这里有一个问题，如果S的首元素和T的首元素相同时，为什么要分匹配和不匹配两种情况呢？原因在于如果S中包含两个相同的元素能够进行匹配的话，这么做可以使T中对应元素能够匹配到S中的不同位置，从而形成。
接下来再考虑重复元素的问题。
三、去重
我看到的重复问题有两类：
1. 如果S中有多个位置能够匹配T中某一个元素的话，是否需要匹配不同位置？
2. 当已生成的输出序列中有连续两个相同的元素时，会形成重复解。
分开来看。
3.1 是否需要匹配不同位置？
这其实也是两个子问题：
a. 匹配不同位置会不会造成重复的解？
以S=[1,2,3,2,4], T=[1,2,4]为例。T中第2个元素可以匹配到S的第2和第4个位置。
显然，在S中两个可选匹配位置（第2和第4）之间的区域（此例中第3个元素）不输出的情况下，匹配到这两个位置的结果集是相同的，所以匹配到不同位置会有重复解。
b. 只匹配单一位置的话会不会造成漏解？
如果只匹配S中的第一个可选位置的话，那么输出解的组合可以更改为：
1. 输出S的首元素，并且如果S的首元素与T的首元素相同，就匹配；
2. 不输出S的首元素。
这样问题就转换成了：这样一个逻辑形成的解空间，能否够覆盖将T中元素匹配到其它位置形成的解空间？为了解答这个问题，我们需要再回到用位数组来表示解的表达方式。如果S中某个元素被匹配的话，那么它必定是要输出的，解空间类似：
{x,x,x,x,1,x,x...} // x表示状态未定0|1，0表示不输出，1表示输出；
以上面的例子来说：
如果T中第2个元素匹配S中的第2个元素，解空间为： {1,1,x,x,1} & {1,0,x,1,1} = {1,x,x,x,1}
如果T中第2个元素匹配S中的第4个元素，解空间为： {1,x,x,1,1}，显然是{1,x,x,x,1}的子集。
所以，结论是只需要S中的任何一个位置即可。
这样程序就变成了：
void DistinctSubInner(char* whole_seq, int sub_seq_len) { if (!*whole_seq) { if(!*min_seq) { PrintDistinctSub(sub_seq_len); } return; } sub_seq[sub_seq_len] = *whole_seq; if (*whole_seq == *min_seq) { DistinctSubInner(whole_seq + 1, min_seq + 1, sub_seq_len + 1); } else { DistinctSubInner(whole_seq + 1, min_seq, sub_seq_len + 1); } DistinctSubInner(whole_seq + 1, sub_seq_len); }
3.2 如何解决连续相同元素造成的重复解？
以[1, 1]例，它的子序列为：
[1, 1]
[1] 只输出第一个元素
[1] 只输出第二个元素
解决此问题的一个简单的做法是，如果序列中有连续相同的元素，则在第一个元素输出的情况下，忽略第二个元素不输出的解。
void DistinctSubInner(char* whole_seq, int sub_seq_len) { if (!*whole_seq) { if(!*min_seq) { PrintDistinctSub(sub_seq_len); } return; } sub_seq[sub_seq_len] = *whole_seq; if (*whole_seq == *min_seq) { DistinctSubInner(whole_seq + 1, min_seq + 1, sub_seq_len + 1); } else { DistinctSubInner(whole_seq + 1, min_seq, sub_seq_len + 1); } if(sub_seq[sub_seq_len] != sub_seq[sub_seq_len - 1]) { DistinctSubInner(whole_seq + 1, min_seq, sub_seq_len); } }
需要注意的是，不能在S上作这个判断，因为形如[1,2,1]的序列，虽然两个1不连续，但在2不输出的情况下，同样会形成重复解。所以只能在生成的结果序列上作处理。
事实上，S中可能不只是包含两个相同的元素，还可能包含两个相同的子序列，例如[1,2,1,2]，上面的逻辑似乎并不能防止形成重复的[1,2]解。但是，很有趣的是，上面代码就是不会导致形成重复的子序列解。为什么？请跟我一样看下测试结果的输出，大概就能看出原委了，这个已经不知道怎么表达了...
所以，暂时的解就是这样。补上测试代码：
int main(int argc, _TCHAR* argv[]) { char* whole_seqs[] = { "1", "124", "1234", "1124", "1224", "1244", "12324", "135635624", "1323245", "13523524",}; for (int i = 0; i < sizeof(whole_seqs) / sizeof(char*); ++i) { printf("\r\n\r\ndistinct sub sequence of \"%s\" for \"%s\" : ===============", whole_seqs[i], "124"); DistinctSub(whole_seqs[i], "124"); } getchar(); }
后话
作为一个算法的话，这显然不能说over了。
首先，算法的正确性，应该做作大量的测试验证。譬如，还有没有没有想到的重复解的情况？对于这个算法，我并没有十分的把握，还需要验证来发现问题并确认正确性。
其次，在去重这一块，我觉得我的思路似乎并不直观，以及并没有和数学里的问题应对起来。而现实中很多算法其实都能转换为数学问题。所以我怀疑有更简洁和明了的思路。
上午百度了一下，网上有一堆人问这个，想必应该是别的思路的，不过我还是先把我的思路记下来。再去学习。
顺便再吐槽一下，博客园的编辑器依然烂成翔...等宽代码字体都没有，代码缩进又被吃了。有个高亮的功能聊胜于无吧...本地纯文本或markdown但是consolas+雅黑字体好太多了，线上的就只能将就看下。
