信号与系统学习笔记——为什么信号的功率是平方，而不是一次方或者三次方等等？

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目录

• 前言
• 疑问——信号的功率和能量
• 回归到电路的功率
  • • 电流的本质
    • 电场做功
    • 电的功率
• 推广到信号的功率

前言

以前在中学学过

\[功：w=pt \]

其中p为功率，单位：瓦（w），t为时间，单位为秒（s）。这是定义式。

疑问——信号的功率和能量

最近在学习信号与系统，在

\[连续时间信号x(t)的总能量= \int_{t1}^{t2} {|x(t)|}^2dt\,. 中 \]

也就是说这里的信号x(t)的功率为$$|x(t)|^2$$

那么有个疑问，就是为什么信号的功率为平方？而不是三次方？或者一次方？

回归到电路的功率

电流的本质

在高中物理我们学过，电流的本质是电荷的定向移动，

定义为：单位时间内，流过目标截面的电荷量，称之为电流，记作

\[I=\frac {q}{t} \]

该式为电流的定义式，适用于任何场合，无论是在纯电路，还是非纯电路，甚至超导电路中也适用。

电场做功

电荷量为q的物体，穿过电势差为E的电场，电场对该物体做功的大小为：

\[W=qE \]

该式也适用于所有场合。

电的功率

在电路学中，导体两端的电压差U，本质上就是导体内的电势差E，于是电流通过导体两端时，电场做功为：

\[W=qE=qU \]

又由电流的本质中讲到

\[I=\frac {q}{t} \]

所以有

\[q=It \]

所以最终电场做功

\[W=qE=qU=ItU \]

所以功率P：

\[P=\frac {W}{t}=\frac {ItU}{t}=IU=\frac{U^2}{R}； \]

以上推导过程，均没有对任何过程做限制，所以最终得到的电功率公式适用于所有场合。

推广到信号的功率

当R为单位电阻,也就是

\[R=1\Omega时 \]

，信号的功率可以看作为$$P=U^2$$
。所以就有了奥本海姆《信号与系统》下的如下解释：

\[ \int_{t1}^{t2} {|x(t)|}^2dt\,. 为在连续时间信号x(t)在[t1,t2]内的总能量。 \]