BZOJ 1001 (UVa1376, LA3661 ) - 平面图最大流（对偶图 -> 最短路）

直接套Dinic妥妥地TLE。。怎么办呢。。

这是一个平面图。。有一些很好玩的性质。。

利用这些性质，我们可以做一些奇妙的转化，把流量转化为边的长度，然后跑一遍最短路即可。。

这个转化，就是对偶图。。

理论依据详见2008年国家集训队周冬的论文《两极相通——浅析最大—最小定理在信息学竞赛中的应用》、

然后又发现白书上居然有这道题。。UVa1376 ( LA3661 )，白书上的解释更加通俗感性。。

考虑平面图给人的直观感受，那就是必须要从“中间”“连续地”割断。更具体地说，就从左/下连到右/上即可。

那么既然要是连续的，就不难联想到最短路问题。把每条路径当作一个点，那么一个割就变成了一条路径，一张边权图就变成了一张点权图。

Dijkstra的初始化怎么做呢？直接令所有下边和右边的d值为0即可。

注意建图时点标号的构造方法。

 

<span style="font-size:12px;">// BZOJ 1001

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;

 typedef long long LL;
 typedef unsigned long long uLL;
  const int N=2000000+5, M=4*N, INF=0x3f3f3f3f;

 #define rep(i,a,b) for (int i=a; i<=b; i++)
 #define uep(i,a,b) for (unsigned i=a; i<b; i++)
 #define dep(i,a,b) for (int i=a; i>=b; i--)
 #define read(x) scanf("%d", &x)
 #define fill(a,x) memset(a, x, sizeof(a))

  struct Graph {
 	int s, from[M], to[M], dis[M], pre[M], last[N];
 	void init() { s=-1; fill(last, -1); }
 	void ine(int a, int b, int d) {
 		s++;
 		from[s]=a, to[s]=b, dis[s]=d, pre[s]=last[a];
 		last[a]=s;
 	}
 	void ine2(int a, int b, int d) {
 		ine(a, b, d);
 		ine(b, a, d);
 	}
 } G;
 #define reg(i,s,u) for (int i=s.last[u]; i!=-1; i=s.pre[i])

  struct Node {
 	int id, dis;
 	Node(int id_, int dis_) { id=id_, dis=dis_; }
    bool operator < (const Node &x) const { return dis>x.dis; }
 };

 int n, m, nm, w, d[N];
 bool done[N];

 priority_queue<Node> pQ;
 void Dijkstra(int s) {
 	rep(i,0,nm+1) d[i]=INF, done[i]=false;
 	d[s]=0;
 	pQ.push(Node(s,0));
 	while (!pQ.empty()) {
 		Node Nx=pQ.top(); pQ.pop();
 		int x=Nx.id;
 		if (done[x]) continue;
 		done[x]=true;
 		reg(i,G,x) {
 			int y=G.to[i], w=G.dis[i];
 			if (done[y]) continue;
 			if (d[x]+w<d[y]) {
 				d[y]=d[x]+w;
 				pQ.push(Node(y, d[y]));
 			}
 		}
 	}
 }
 
int main()
{
	read(n); read(m);
	G.init();  //  千万别忘了初始化！
	nm=(n*m-m-n+1)<<1;  // 所有边->的数目
	rep(j,1,m-1) read(w), G.ine2(j, nm+1, w); // 第一行的横边与S（即nm+1）相连，后同理
	rep(i,1,n-2) rep(j,1,m-1) read(w), G.ine2((i<<1)*(m-1)+j, ((i<<1)-1)*(m-1)+j, w);  
	rep(j,1,m-1) read(w), G.ine2(0, ((n<<1)-3)*(m-1)+j, w);
	rep(i,0,n-2) rep(j,1,m) {
		read(w);
		if (j==1) G.ine2(0, (i<<1)*(m-1)+m, w);
		else if (j==m) G.ine2((i<<1|1)*(m-1), nm+1, w);
		else G.ine2((i<<1)*(m-1)+j-1, (i<<1)*(m-1)+j+m-1, w);
	}
	rep(i,0,n-2) rep(j,1,m-1) read(w), G.ine2((i<<1|1)*(m-1)+j, (i<<1)*(m-1)+j, w);

	Dijkstra(0);
	printf("%d\n", d[nm+1]);

	return 0;
}
</span>