线性代数（完结版）
本文介绍线性代数
目录
行列式
矩阵及其运算
矩阵的初等变换与线性方程组
向量组的线性相关性
相似矩阵及二次型
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二阶行列式
\(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix}\quad\)，其中\(a_{ij}\)称为行列式的元素，\(i\)为行标，\(j\)为列标
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三阶行列式
\(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\quad\)
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全排列及其逆序数
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全排列
将\(n\)个不同的元素排成一列，叫做这\(n\)个元素的全排列，排列的种数\(p_n=n\bullet(n-1)\bullet...\bullet 3\bullet 2\bullet 1=n!\)
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逆序数
规定一个标准排序顺序（比如升序），一个元素前面有几个比它大的数就说它有几个逆序，
一个排列中所有元素的逆序数之和叫做这个排列的逆序数，逆序数为奇数的叫奇排列，偶数的叫偶排列
如：排列\(32514\)的排序数为\(t=0+1+0+3+1=5\)，为奇排列
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\(n\)阶行列式的定义
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三阶行列式
\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\quad=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}\)，其中\(p_1,p_2,p_3\)为\(123\)的全排列，\(t\)为每种排列的逆序数
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\(n\)阶行列式，简记\(det(a_{ij})\)
\[ D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n} \] -
特殊的\(n\)阶行列式
\[ D=\begin{vmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & &\\ & & \cdots & \\ & & & \lambda_n \\ \end{vmatrix}=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n \]\[ D=\begin{vmatrix} & & & \lambda_1 \\ & & \lambda_2 &\\ & \cdots & & \\ \lambda_n & & & \\ \end{vmatrix}=(-1)\dfrac{n(n-1)}{2}\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n \]除了主对角线外未标出的元素都是零，称为对角行列式
主对角线以下（上）的元素都是\(0\)的行列式称为上（下）三角行列式，结果和对角行列式一样，即\[ D=\begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & &\\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22} \cdots a_{nn} \]拉普拉斯行列式，如果\(A\)和\(B\)分别是\(m\)阶和\(n\)阶方阵，则
\[ \begin{vmatrix} A & * \\ O & B \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ * & B \\ \end{vmatrix} = |A|\;|B| \quad, \begin{vmatrix} O & A \\ B & * \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} * & A \\ B & O \\ \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A|\;|B| \]范德蒙行列式
\[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{n \geq i \gt j \geq 1}(x_i - x_j) \]
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对换
- 一个排列中任意两个元素对换，排列的奇偶性改变
- 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数（标准排列就是偶排列）
- \(n\)阶行列式还可以定义为\(D=\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}\cdots a_{p_nn}\)，其中\(t\)为行标排列\(P_1,P_2,\cdots,P_n\)的逆序数
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行列式的性质
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转置行列式
\[ D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}, D^T=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}, \]\(D_T\)称为行列式\(D\)的转置行列式
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行列式和它的转置行列式相等，行列式中行和列的地位相同，对行成立的性质对列同样成立
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互换行列式的两行（列），行列式变号
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如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零
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行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数\(k\)，等于用数\(k\)乘此行列式
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行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面
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行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零
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若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则\(D\)等于两个包含各数的行列式之和
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把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数后的值加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变
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几个特殊的实例
\[ D=\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} & & & \\ \vdots & \vdots & \vdots & & & \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} & & & \\ c_{11} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{n1} & \cdots & c_{nk} & b_{n1} & \cdots & b_{nn} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k}\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{k1} & \cdots & a_{kk}\\ \end{vmatrix}\times\begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} \\ \end{vmatrix} \]\[ D_{2n}=\begin{vmatrix} a & & & & b \\ & \cdots & & \cdots & \\ & & a b & & \\ & & c d & & \\ & \cdots & & \cdots & \\ c & & & & d \\ \end{vmatrix}=(ad-bc)^n \]
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行列式按行（列）展开
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余子式：\(n\)阶行列式中，\(a_{ij}\)所在的第\(i\)行和第\(j\)列划去后，剩下的\(n-1\)阶行列式称为\(a_{ij}\)元的余子式，记做\(M_{ij}\)
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代数余子式：\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)
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一个\(n\)阶行列式，如果其中第\(i\)行所有的元素除\(a_{ij}\)外都为零，那么这行列式等于\(a_{ij}\)与它的代数余子式的乘积，即\(D=a_{ij}A_{ij}\)
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行列式按行或列展开法则
（1）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
（2）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
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克拉默法则
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\(n\)个未知数\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的\(n\)个线性方程的方程组
\[ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\\ \end{cases} \]如果线性方程组的系数行列式不等于零，即
\[ D=\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}\neq 0 \]那么线性方程组有唯一解\(x_1=\dfrac{D_1}{D},x_2=\dfrac{D_2}{D},\cdots,x_n=\dfrac{D_n}{D}\)，其中\(D_j\)是把方程组的右端的常数项替换行列式第\(j\)列后的行列式
如果右端的常数项\(b_1,b_2,\cdots,b_n\)不全为零，方程组称为非齐次线性方程组，否则称为齐次线性方程组
齐次线性方程组\(x_1=x_2=\cdots=x_n=0\)一定是它的解，称为齐次线性方程组的零解，不一定有非零解
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如果系数行列式\(D \neq 0\)则，方程组一定有唯一解
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如果上述线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零
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如果齐次线性方程组的系数行列式\(D \neq 0\)，则齐次线性方程组没有非零解
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如果齐次线性方程组有非零解，则他的系数行列式必为零
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矩阵
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由\(m\times n\)个数\(a_{ij}\)排成\(m\)行\(n\)列的数表称为\(m\)行\(n\)列矩阵，简称\(m\times n\)矩阵，记作
\[A=(a_{ij})=(a_{ij})_{m\times n}=A_{m\times n}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \]行数和列数都为\(n\)的矩阵称为\(n\)阶矩阵或\(n\)阶方阵，记作\(A_n\)，只有一行的矩阵\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)，称为行矩阵或行向量，同样的，也有列矩阵，两个矩阵行和列数相等，称为同型矩阵，同型矩阵对应元素相同则两矩阵相同，元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作\(O\).
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单位阵
\[E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \] -
对角阵，简记\(\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\)
\[\Lambda=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix} \]
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矩阵的运算
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矩阵的加法
两个矩阵是同型矩阵才可以进行加法运算，\(A=(a_{ij})\)和\(B=(b_{ij})\)相加，为对应元素相加
（1）\(A+B=B+A\)
（2）\((A+B)+C=A+(B+C)\)
（3）\(-A=(-a_{ij})\)
（4）\(A+(-A)=O\)
（5）\(A-B=A+(-B)\)
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数与矩阵相乘，数\(\lambda A=A\lambda\)为\(\lambda\)与\(A\)中的每一个元素相乘
（1）\((\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)\)
（2）\((\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\)
（3）\(\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\)
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矩阵与矩阵相乘，第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时才能相乘
设\(A=(a_{ij})\)是一个\(m\times s\)矩阵，\(B=(b_{ij})\)是一个\(s\times n\)矩阵，那么\(A\)和\(B\)的乘积是一个\(m\times n\)矩阵\(C=(c_{ij})\)其中，\(c_{ij}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}\)，行和列对应的元素相乘，记作\(C=AB\)
矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序，\(AB\)是\(A\)左乘\(B\)的乘积，\(BA\)是\(A\)右乘\(B\)的乘积，若\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(n\times m\)矩阵，则\(AB\)和\(BA\)都有意义，如果\(AB=BA\)称方阵\(A\)和\(B\)可交换
单位阵满足\(EA=AE=A\)
对角阵可以表示为\(\Lambda=\lambda E_n\)，也称为纯量阵，\((\lambda E_n)A=A(\lambda E_n)=\lambda A\)，表明纯量阵和任何同阶方阵都是可交换的
矩阵的幂只有方阵才有，\(A^k\)，有\(A^kA^l=A^{k+l},(A^k)^l=A^{kl}\)，只有\(A,B\)可交换才满足\((AB)^k=A^kB^k\)
（1）\((AB)C=A(BC)\)
（2）\(\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)\)
（3）\(A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA\)
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矩阵与矩阵相乘的规律
两个向量 \(A=(a_1,a_2,a_3)^T,B=(b_1,b_2,b_3)^T\)，其中\(AB^T\)为方阵\(C\)，并且\(A^TB\)为数，这个数是方阵\(C\)的迹
两个对角阵\(A,B\)相乘的结果\(AB=BA\)
\[\begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_1b_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2b_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_nb_n \end{pmatrix} \] -
矩阵的转置，把矩阵\(A\)的行和列交换，叫做\(A\)的转置矩阵，记作\(A^T\)， 如果\(A^T=A\)，称\(A\)为对称矩阵
（1）\((A^T)^T=A\)
（2）\((A+B)^T=A^T+B^T\)
（3）\((\lambda A)^T=\lambda A^T\)
（4）\((AB)^T=B^TA^T\)
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方阵的行列式，由\(n\)阶方阵\(A\)的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵\(A\)的行列式，记作\(|A|\)或\(detA\)
（1）\(|A^T|=|A|\)
（2）\(|\lambda A|=\lambda^n|A|\)
（3）\(|AB|=|BA|=|A||B|\)
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伴随阵
行列式\(|A|\)的各个元素的代数余子式\(A_{ij}\)所构成的矩阵如下
\[A^*=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \\ \end{pmatrix} \]称为矩阵\(A\)的伴随矩阵，有\(AA^*=A^*A=|A|E\)
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伴随阵的性质
（1）\((A^*)^* = |A|^{n-2}A (n \geq 2)\)
（2）\((kA)^*=k^{n-1}A^*\)
（3）\((AB)^*=B^*A^*\)，\(A,B\)可逆
（4）\(|A^*|=|A|^{n-1}\)
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求伴随阵的技巧
二阶行列式求伴随阵：主对角线元素对调，副对角线元素取反
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逆矩阵
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逆矩阵的提出
由线性变换\(Y=AX\)，用\(A^*\)伴随阵左乘此式\(A^*Y=A^*AX=|A|X\)，当\(|A| \neq 0\)有\(X=\dfrac{1}{|A|}A^*Y\)，记\(B=\dfrac{1}{|A|}A^*\)，则\(X=BY\)称此式为逆变换，因\(Y=AX=ABY, X=BY=BAX\)得\(AB=BA=E\)
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对于\(n\)阶矩阵\(A\)，如果有一个\(n\)阶矩阵\(B\)，使\(AB=BA=E\)，则说\(A\)是可逆的，\(B\)称为\(A\)的逆矩阵简记\(A^{-1}\)，如果\(A\)是可逆的，那么\(A\)的逆阵是唯一的
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逆阵的性质
（1）\(A\)是可逆矩阵的充分必要条件是\(|A| \neq 0\)，且\(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*\)
（2）若\(AB=E\)（或\(BA=E\)），则\(B=A^{-1},A=B^{-1}\)
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方阵逆阵的运算
（1）若\(A\)可逆，则\(A^{-1}\)亦可逆，且\((A^{-1})^{-1}=A\)
（2）若\(A\)可逆，数\(\lambda \neq 0\)，则\(\lambda A\)可逆，且\((\lambda A)^{-1}=\dfrac{1}{\lambda}A^{-1}\)
（3）若\(A,B\)为同阶矩阵且均可逆，则\(AB\)亦可逆，且\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
（4）若\(A\)可逆，则\(A^T\)亦可逆，且\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)
（5）\(|A^{-1}|=|A|^{-1}\)
（6）\((A^*)^{-1}=(A^{-1})^*\)
（7）\((A^T)^{*}=(A^{*})^T\)
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方阵逆阵的求法
（1）定义法 \(AB=E \Rightarrow A^{-1}=B\)
（2）伴随法 \(A^{-1} = \dfrac{A^*}{|A|}, (A^*)^{-1}=\dfrac{A}{|A|}\)
（3）用行初等变换 \((A|E) \Rightarrow (E|A^{-1})\)
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如果\(AP=PB\)，\(P\)可逆，则\(A=PBP^{-1}\)从而\(A^k=PB^kP^{-1}\)，即当求\(A^k\)可以转化成求\(B^k\)
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矩阵的分块法
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分块法就是\(A\)矩阵分成多个小的矩阵，而\(A\)就由这些小的矩阵块组成，分块后的\(A\)的运算法则和之前是一样的，\(A=O\)的充分必要条件是\(A^TA=O\)
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有如下几个特殊的运算规则需要注意：
分块矩阵转置
\[A=\begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1r} \\ \vdots & &\vdots \\ A_{s1} & \cdots & A_{sr} \\ \end{pmatrix}, A^T=\begin{pmatrix} A_{11}^T & \cdots & A_{1r}^T \\ \vdots & &\vdots \\ A_{s1}^T & \cdots & A_{sr}^T \\ \end{pmatrix} \]分块对角矩阵
\[A=\begin{pmatrix} A_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & A_{s} \\ \end{pmatrix}, |A|=|A_1||A_2|\cdots|A_s| \]分块矩阵逆阵
\[|A_i| \neq 0, A=\begin{pmatrix} A_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & A_{s} \\ \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1}=\begin{pmatrix} A_{1}^{-1} & & \\ & \ddots & \\ & & A_{s}^{-1} \\ \end{pmatrix} \quad A=\begin{pmatrix} & & A_{1} \\ & \cdots & \\ A_{s} & & \\ \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1}=\begin{pmatrix} & & A_{s}^{-1} \\ & \cdots & \\ A_{1}^{-1} & & \\ \end{pmatrix} \] -
按行分块和按列分块
称\(A_{m\times n}\)有\(m\)个行向量，第\(i\)行记作\(\alpha^T_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})\)，则矩阵\(A\)可记为
\[A=\begin{pmatrix} \alpha^T_1 \\ \alpha^T_2 \\ \vdots \\ \alpha^T_n \\ \end{pmatrix} \]第\(j\)列记作
\[a_j=\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \cdots \\ a_{nj} \\ \end{pmatrix} \]则矩阵\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)
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矩阵的初等变换
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几个特殊的矩阵
（1）增广矩阵：方程组的系数和常数项组成的矩阵，解线性方程组只需要把增广矩阵化为行最简形矩阵
（2）行阶梯形矩阵：所有非零行在全零行的上面，并且每行的非零首元素比上行的非零首元素更靠右
（3）行最简形矩阵：行阶梯形矩阵每行的非零首元素为1，并且所在列的其他元素为0
（4）标准形：对行最简形矩阵再施加初等变换，例如：
\[F=\begin{pmatrix} E_{r} & O \\ O & O \\ \end{pmatrix}_{m\times n} \]标准型由\(m,n,r\)三个数决定，其中\(r\)是行阶梯形矩阵非零行的行数，也就是矩阵的秩
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初等变换的定义
下面三种变换称为矩阵的初等行变换，初等列变换同理
（1）对调两行（对调\(i,j\)两行，记做\(r_i \leftrightarrow r_j\)）
（2）以数\(k \neq 0\)乘某一行中的所有元素（第\(i\)行乘\(k\)，记做\(r_i\times k\)）
（3）把某一行所有元素的\(k\)倍加到另一行对应的元素上去（记做\(r_i+kr_j\)）
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矩阵等价的定义
（1）如果矩阵\(A\)经过有限次初等行变换成为矩阵\(B\)，称矩阵\(A\)与\(B\)行等价，记做\(A\overset{r}{\sim}B\)
（2）如果矩阵\(A\)经过有限次初等列变换成为矩阵\(B\)，称矩阵\(A\)与\(B\)列等价，记做\(A\overset{c}{\sim}B\)
（3）如果矩阵\(A\)经过有限次初等变换成为矩阵\(B\)，称矩阵\(A\)与\(B\)等价，记做\(A\sim B\)
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矩阵等价的性质
（1）反身性 \(A \sim A\)
（2）对称性 若\(A \sim B\)，则\(B \sim A\)
（3）传递性 若\(A \sim B, B \sim C\)，则\(A \sim C\)
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初等矩阵
（1）由单位阵\(E\)经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，初等矩阵都是可逆的
（2）设\(A\)是一个\(m\times n\)矩阵，对\(A\)施行一次初等行变换，相当于在\(A\)的左边乘以相应的\(m\)阶初等矩阵，对\(A\)施行一次初等列变换，相当于在\(A\)的右边乘以相应的\(n\)阶初等矩阵
（3）方阵\(A\)可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵\(P_1,P_2,\cdots,P_i\)，使\(A=P_1P_2\cdots P_i\)
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矩阵初等变换的性质，设\(A\)与\(B\)为\(m\times n\)矩阵，那么：
（1）\(A\overset{r}{\sim}B\)的充分必要条件是存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\)，使\(PA=B\)，求\(P\)只需要将\((A,E)\overset{r}{\sim}(B,P)\)，即可得\(P\)
（2）\(A\overset{c}{\sim}B\)的充分必要条件是存在\(n\)阶可逆矩阵\(Q\)，使\(AQ=B\)
（3）\(A\sim B\)的充分必要条件是存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\)及\(n\)阶可逆矩阵\(Q\)，使\(PAQ=B\)
（4）方阵\(A\)可逆的充分必要条件是\(A\overset{r}{\sim}E\)
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初等矩阵的逆，初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵，即
（1）初等矩阵某一行乘\(k\)倍，其逆阵此行乘\(\dfrac{1}{k}\)
（2）初等矩阵两行互换，其逆阵也是此两行互换
（3）初等矩阵某一行乘\(k\)倍加到另外一行，其逆阵为某一行乘\(-k\)倍加到另外一行
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矩阵的秩
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\(k\)阶子式的概念：取矩阵\(A_{m\times n}\)的\(k\)行和\(k\)列，位于交界处的\(k^2\)个元素构成\(k\)阶行列式称为\(k\)阶子式，共有\(C^k_m\bullet C_n^k\)个
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秩的定义：矩阵\(A\)的不为零的\(r\)阶子式\(D\)，所有的\(r+1\)阶子式都为零，\(D\)称为最高阶非零子式，\(r\)称为\(A\)的秩，记作\(R(A)\)，规定零矩阵的秩等于零
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矩阵秩的求法：将矩阵经过初等变换化成行阶梯形矩阵，非零行个数就是矩阵的秩
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可逆矩阵的秩：\(n\)阶可逆矩阵，因为\(|A| \neq 0\)所以\(R(A)=n\)，称为满秩矩阵
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增广矩阵的秩
线性方程组的增广矩阵\(B=(A,b)\)，对\(B\)做初等变换为行阶梯形矩阵\(\widetilde B=(\widetilde A,\widetilde b)\)，其中\(\widetilde A\)就是系数矩阵的行阶梯形矩阵，如果\(R(A) \lt R(B)\)则方程无解
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矩阵秩和伴随阵秩的关系
\(n\)阶矩阵
\[\begin{array}{ll} \hfill\mathrm{R(A)} \hfill & \hfill\mathrm{R(A^*)} \hfill \\ \hline \\ \lt n-1 & 0 \\ n-1 & 1 \\ n & n \\ \end{array} \] -
秩的性质
（1）\(0 \leq R(A_{m\times n}) \leq min|m,n|\)
（2）\(R(A^T)=R(A)\)
（3）\(R(A)=R(A^TA)=R(AA^T)=R(A^T)\)
（4）若\(A \sim B\)，则\(R(A) = R(B)\)
（5）若\(P,Q\)可逆，则\(R(PAQ)=R(A)\)
（6）\(max\{R(A),R(B)\}\leq R(A,B)\leq R(A)+R(B)\)，当\(B=b\)非零列向量时有\(R(A)\leq R(A,b)\leq R(A)+1\)
（7）\(R(A+B)\leq R(A) + R(B)\)
（8）\(R(AB)\leq min\{R(A),R(B)\}\)
（9）若\(A_{m\times n}B_{n\times l}=O\)，则\(R(A)+R(B) \leq n\)
（10）若\(A_{m\times n}B_{n\times l}=C\)，且\(R(A)=n\)，则\(R(B) = R(C)\)
（11）若\(A_{m\times n}B_{n\times l}=O\)，且\(R(A)=n\)，则\(B=O\)
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线性方程组的解
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n元线性方程组\(Ax=b\)，系数矩阵\(A\)和增广矩阵\(B=(A,b)\)
（1）无解的充分必要条件是\(R(A) \lt R(A,b)\)
（2）有唯一解的充分必要条件是\(R(A)=R(A,b)=n\)
（3）有无限多解的充分必要条件是\(R(A)=R(A,b)\lt n\)，令自由未知数为参数，可以写出方程的通解
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确定方程组解的其他性质
（1）\(n\)元齐次线性方程组\(Ax=0\)有非零解的充分必要条件是\(R(A)\lt n\)
（2）线性方程组\(Ax=b\)有解的充分必要条件是\(R(A)=R(A,b)\)
（3）矩阵方程\(AX=B\)有解的充分必要条件是\(R(A)=R(A,B)\)
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向量组及其线性组合
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向量的定义
\(n\)个有次序的数\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)所组成的数组称为\(n\)维向量，每个数称为分量，\(n\)维列向量记做\(a\)，\(n\)维行向量记做\(a^T\)
\[a=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ \end{pmatrix} \quad a^T=(a_1,a_2,\cdots,a_n) \]m个n维列向量所组成的集合叫列向量组\(A\)，m个n维行向量所组成的集合叫行向量组\(B\)
\[A=(a_1,a_2,\cdots,a_m) \quad B=\begin{pmatrix} \beta_1^T \\ \beta_2^T \\ \vdots \\ \beta_m^T \\ \end{pmatrix} \] -
线性组合的定义
（1）给定向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)，对于任何一组实数\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，表达式\(k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m\)称为\(A\)的一个线性组合
（2）给定向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)和向量\(b\)，如果存在一组数\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\)，使\(b=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots+\lambda_ma_m\)，则向量\(b\)是向量组的线性组合，称向量\(b\)能由向量组\(A\)线性表示也就是说方程组\(x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_ma_m=b\)有解
（3）向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)及\(B:b_1,b_2,\cdots,b_l\)，若\(B\)中的每个向量都能由\(A\)线性表示，则称\(B\)能由\(A\)线性表示，如果\(A\)和\(B\)能相互线性表示，称两者等价
（4）向量组\(B\)能由\(A\)表示也就是说，存在矩阵\(K_{m\times l}\)使\((b_1,\cdots,b_l)=(a_1,\cdots,a_m)K\)也就是，矩阵方程\((a_1,\cdots,a_m)X=(b_1,\cdots,b_l)\)有解
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线性表示的条件
（1）向量\(b\)能由向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)线性表示的充分必要条件是，矩阵\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)的秩等于矩阵\(B=(a_1,a_2,\cdots,a_m,b)\)的秩
（2）向量组\(B:b_1,b_2,\cdots,b_l\)能由向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)线性表示的充分必要条件是，矩阵\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)的秩等于矩阵\((A,B)=(a_1,a_2,\cdots,a_m,b_1,b_2,\cdots,b_l)\)的秩，即\(R(A)=R(A,B)\)
（3）向量组\(B:b_1,b_2,\cdots,b_l\)能由向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)线性表示的充分条件是，\(R(B) \leq R(A)\)
（4）推论：向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)与向量组\(B:b_1,b_2,\cdots,b_l\)等价的充分必要条件是，\(R(A)=R(B)=R(A,B)\)，其中\(A,B\)是由向量组\(A,B\)构成的矩阵
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向量组线性表示和秩的关系
（1）设向量组\(B:b_1,b_2,\cdots,b_l\)能由向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)线性表示，因为\(AX=B \Rightarrow R(A) = R(A, B) \geq R(B)\)，则\(R(b_1,b_2,\cdots,b_l) \leq R(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)
（2）对矩阵\(A_{n\times m}\)存在矩阵\(K_{m\times n}\)，使\(AK=E_n\)的充分必要条件是\(R(A)=n\)
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向量组的线性相关性
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线性相关性的概念
（1）给定向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)，如果存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使\(k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0\)，则称向量组\(A\)是线性相关的（也就是说\(AX=0\)有非零解），否则线性无关
（2）线性无关的两种情况：只要有一个\(k_i \neq 0\)，就有\(k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m \neq 0\). 或者，当且仅当\(k_1=k_2=\cdots=k_m=0\)，才有\(k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m = 0\)（也就是说\(AX=0\)只有零解）
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线性相关性和线性组合的联系
（1）向量组\(A\)线性相关的充分必要条件是存在某个向量能由其余的向量线性表示
（2）线性方程中某个方程是其余方程的线性组合，也就是说这些方程是线性相关的，这个方程就是多余的
（3）向量组\(A:a_1,a_2,\cdots,a_m\)线性相关，就是齐次线性方程\(x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_ma_m=0\)有非零解
（4）向量组\(a_1,a_2,\cdots,a_m\)线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)的秩小于\(m\)，线性无关的充分必要条件是\(R(A)=m\)
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线性相关性的结论
（1）若向量组\(A:a_1,\cdots,a_m\)线性相关，增加向量个数后的向量组\(B: a_1,\cdots,a_m,a_{m+1}\)也线性相关
（2）若向量组\(A:a_1,\cdots,a_m\)线性相关，减少向量维数后的向量组\(B\)也线性相关
（3）若向量组\(A:a_1,\cdots,a_m\)线性无关，减少向量个数后的向量组\(B: a_1,\cdots,a_m,a_{m-1}\)也线性无关
（4）若向量组\(A:a_1,\cdots,a_m\)线性无关，增加向量维数后的向量组\(B\)也线性无关
（5）\(m\)个\(n\)维向量组成的向量组，当\(n \lt m\)时，一定线性相关
（6）设向量组\(A:a_1,\cdots,a_m\)线性无关，而向量组\(B: a_1,\cdots,a_m,b\)线性相关，则向量\(b\)必能由\(A\)线性表示，并且表达式唯一
（7）若向量组\(A:a_1,\cdots,a_m\)可由向量组\(B:b_1,\cdots,b_n\)线性表出，并且\(m \gt n\)，则向量组\(A\)线性相关
（8）若向量组\(A:a_1,\cdots,a_m\)可由向量组\(B:b_1,\cdots,b_n\)线性表出，并且向量组\(A\)线性无关，则\(m \leq n\)
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向量组的秩
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向量组秩的定义
设有向量组\(A\)，如果在\(A\)中能选出\(r\)个向量\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)，满足向量组\(A_0: a_1,a_2,\cdots,a_r\)线性无关并且向量组\(A\)中任意\(r+1\)个向量都线性相关，则称\(A_0\)是\(A\)的一个最大线性无关向量组，\(r\)称为向量组\(A\)的秩，记做\(R_A\)
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向量组的秩和对应矩阵秩的关系
矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩
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求最大无关组
将矩阵化成行阶梯形矩阵，非零行个数\(R(A)\)即无关组向量个数，并且无关组向量由行阶梯矩阵中\(R(A)\)个列组成并且这些列组成的行列式不为零
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向量组和自己的最大无关组的关系
（1）向量组\(A\)和自己的最大无关组\(A_0\)是等价的，\(A_0\)总能由\(A\)线性表示
（2）设向量组\(A_0:a_1,a_2,\cdots,a_r\)是向量组\(A\)的一个部分组，且满足：向量组\(A_0\)线性无关，向量组\(A\)的任一向量都能由向量组\(A_0\)线性表示，那么向量组\(A_0\)就是向量组\(A\)的一个最大无关组
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相关结论
（1）向量组\(b_1,b_2,\cdots,b_l\)能由向量组\(a_1,a_2,\cdots,a_m\)线性表示的充分必要条件是，\(R(a_1,a_2,\cdots,a_m)=R(a_1,a_2,\cdots,a_m,b_1,b_2,\cdots,b_l)\)
（2）若向量组\(B\)能由向量组\(A\)线性表示，则\(R_B \leq R_A\)
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线性方程组解的结构
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解向量
齐次线性方程组\(Ax=0\)
\[A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}, x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix} \]一个解向量
\[\xi_1=\begin{pmatrix} \xi_{11} \\ \xi_{21} \\ \vdots \\ \xi_{n1} \\ \end{pmatrix} \] -
解向量的性质
（1）若\(x=\xi_1,x=\xi_2\)为齐次向量方程\(Ax=0\)的解，则\(x=\xi_1+\xi_2\)也是它的解
（2）若\(x=\xi_1\)为齐次向量方程\(Ax=0\)的解，\(k\)为实数，则\(x=k\xi_1\)也是它的解
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齐次线性方程的解集
（1）齐次方程\(Ax=0\)的所有解向量组成的集合\(S\)，如果求得\(S\)的一个最大无关组\(S_0:\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t\)，那么齐次方程的任一解都可由\(S_0\)线性表示，并且由上述性质得\(S_0\)的任何线性组合\(x=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_t\xi_t\)都是齐次方程的解，此解为通解，\(S_0\)称为基础解系，系数\(k_i\)不全为零
（2）设\(m\times n\)矩阵\(A\)的秩\(R(A)=r\)，则\(n\)元齐次线性方程组\(Ax=0\)的解集\(S\)的秩\(R_s=n-r\)
（3）将线性方程组的系数矩阵化为行最简形矩阵后，基础解系为
\[\xi_1=\begin{pmatrix} -b_{11} \\ \vdots \\ -b_{r1} \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \xi_2=\begin{pmatrix} -b_{12} \\ \vdots \\ -b_{r2} \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \cdots, \xi_{n-r}=\begin{pmatrix} -b_{1,n-r} \\ \vdots \\ -b_{r,n-r} \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \] -
非齐次线性方程的解集，向量方程\(Ax=b\)，具有如下性质
（1）设\(x=\eta_1\)及\(x=\eta_2\)为向量方程\(Ax=b\)的解，则\(x=\eta_1-\eta_2\)为\(Ax=0\)的解
（2）设\(x=\eta\)为向量方程\(Ax=b\)的解，\(x=\xi\)是\(Ax=0\)的解，则\(x=\xi+\eta\)为\(Ax=b\)的解
由上述性质可得，方程\(Ax=b\)的解可表示为\(x=\xi + \eta^*\)，其中\(\eta^*\)为\(Ax=b\)的特解（系数\(k_i\)全取零求得），\(\xi\)为\(Ax=0\)的通解（系数\(k_i\)可以全为零）
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向量的内积、长度和正交性
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内积的定义
设有n维向量
\[x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix}, y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \\ \end{pmatrix} \]\([x,y]=x^Ty=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n\)称为向量\(x,y\)的内积
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内积具有如下性质
（1）\([x,y]=[y,x]\)
（2）\([\lambda x,y]=\lambda[x,y]\)
（3）\([x+y,z]=[x,z]+[y,z]\)
（4）当\(x=0\)时，\([x,x]=0\)，当\(x\neq 0\)，\([x,x] \gt 0\)
（5）\([x,y]^2 \leq [x,x][y,y]\)
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向量的长度
（1）令\(||x||=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}\)，\(||x||\)称为\(n\)维向量的长度（或范数）
（2）当\(||x||=1\)时，称\(x\)为单位向量
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向量的长度具有如下性质
（1）非负性：当\(x \neq 0\)，\(||x|| \gt 0\)，当\(x = 0\)，\(||x|| = 0\)
（2）齐次性：\(||\lambda x||=|\lambda|\;||x||\)
（3）三角不等式：\(||x+y|| \leq ||x|| + ||y||\)
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向量的正交性
（1）当\([x,y] = 0\)时，称向量\(x,y\)正交，若\(x=0\)则与任何向量都正交
（2）正交向量组：一组两两正交的非零向量
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向量的正交性的性质
若\(n\)维向量\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)是一组两两正交的非零向量，则\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)线性无关
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规范正交基的概念：
（1）设\(n\)维向量\(e_1,e_2,\cdots,e_r\)是向量空间\(V(V \subset R^n)\)的一个基，如果\(e_1,\cdots,e_r\)两两正交且都是单位向量，则称\(e_1,\cdots,e_r\)是\(V\)的一个规范正交基
（2）如果\(e_1,\cdots,e_r\)是\(V\)的一个规范正交基，那么\(V\)中任一向量\(a\)都能由\(e1,\cdots,e_r\)线性表示，设表达式为\(a=\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+\cdots+\lambda_re_r\)，为求系数\(\lambda_i\)，可在方程两边乘\(e^T_i\)，得\(e^T_ia=\lambda_ie^T_ie_i=\lambda_i\)
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求规范正交基的方法
要把\(a_1,\cdots,a_r\)这个基规范化，就是找一组两两正交的单位向量\(e_1,\cdots,e_r\)，使其与\(a_1,\cdots,a_r\)等价
施密特正交规范化的步骤：
\(b_1=a_1\)
\(b_2=a_2-\dfrac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}b_1\)
\(\cdots\cdots\)
\(b_r=a_r-\dfrac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}b_1-\dfrac{[b_2,a_r]}{[b_2,b_2]}b_2-\cdots-\dfrac{[b_{r-1},a_r]}{[b_{r-1},b_{r-1}]}b_{r-1}\)
上面的\(b_1,\cdots,b_r\)两两正交，且和\(a_1,\cdots,a_r\)等价，将其单位化得
\(e_1=\dfrac{b_1}{||b_1||},e_2=\dfrac{b_2}{||b_2||},\cdots,e_r=\dfrac{b_r}{||b_r||}\)
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正交矩阵
如果\(n\)阶矩阵\(A\)满足\(A^TA=AA^T=E\)（即\(A^{-1}=A^T\)）那么称\(A\)为正交矩阵，简称正交阵
即有
\[\begin{pmatrix} a_1^T \\ a_2^T \\ \vdots \\ a_n^T \\ \end{pmatrix} \quad(a_1,a_2,\cdots,a_n)=E \]也就是说方阵\(A\)是正交阵的充分必要条件是\(A\)的列向量都是单位向量且两两正交，此结论对行向量也成立
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正交矩阵具有如下性质
（1）若\(A\)为正交阵，则\(A^{-1}=A^T\)也是正交阵，且\(|A|=1\)（或\(-1\)）
（2）若\(A\)和\(B\)都是正交阵，则\(AB\)也是正交阵
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正交变换
若\(P\)为正交阵，则线性变换\(y=Px\)称为正交变换
\(||y||=\sqrt{y^Ty}=\sqrt{x^TP^TPx}=\sqrt{x^Tx}=||x||\)
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方阵的特征值与特征向量
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特征值与特征向量的定义
（1）设\(A\)是\(n\)阶矩阵，如果数\(\lambda\)和\(n\)维非零列向量\(x\)使关系式\(Ax=\lambda x\)成立（\((A-\lambda E)x=0\)），称数\(\lambda\)为矩阵\(A\)的特征值，非零向量\(x\)称为\(A\)对应于特征值\(\lambda\)的特征向量
（2）要求特征值\(\lambda\)，则系数行列式\(|A-\lambda E|=0\)，即
\[\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\vdots &\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda \\ \end{vmatrix}=0 \]称为矩阵\(A\)的特征方程，在复数范围内恒有方程的次数个解，\(|A-\lambda E|\)称为特征多项式
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特征值的性质
（1）设\(n\)阶矩阵\(A=(a_{ij})\)的特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)则有，\(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}\)并且\(\lambda_1\lambda_2\cdots \lambda_n=|A|\)
（2）\(i\)重特征值\(\lambda_i\)最多只有\(i\)个线性无关的特征向量
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特征向量的性质
（1）若\(p_i\)是矩阵\(A\)的对应于特征值\(\lambda_i\)的特征向量，则\(kp_i(k \neq 0)\)也是对应于\(\lambda_i\)的特征向量
（2）若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则\(\lambda^k\)是\(A^k\)的特征值
（3）\(a_0+a_1\lambda+\cdots+a_m\lambda^m\)是\(a_0E+a_1A+\cdots+a_mA^m\)的特征值
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特征值和特征向量与线性组合的关系
设\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\)是方阵\(A\)的\(m\)个特征值，\(p_1,p_2,\cdots,p_m\)依次是与之对应的特征向量，如果\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\)各不相等，则\(p_1,p_2,\cdots,p_m\)线性无关
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与矩阵\(A\)相关的矩阵的特征值和特征向量的求法
如果矩阵\(A\)的特征值和特征向量是\(\lambda, \alpha\)，则
（1）\(kA+lE\)的特征值是\(k\lambda + l\)，特征向量是\(\alpha\)
（2）\(A^n\)的特征值是\(\lambda^n\)，特征向量是\(\alpha\)
（3）\(A^*\)的特征值是\(\dfrac{|A|}{\lambda}\)，特征向量是\(\alpha\)
（4）\(A^{-1}\)的特征值是\(\dfrac{1}{\lambda}\)，特征向量是\(\alpha\)
（5）\(A^{T}\)的特征值是\(\lambda\)，特征向量不确定
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相似矩阵
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相似矩阵的定义
设\(A,B\)都是\(n\)阶矩阵，若有可逆矩阵\(P\)，使\(P^{-1}AP=B\)则称\(B\)是\(A\)的相似矩阵，对\(A\)进行\(P^{-1}AP\)运算称为相似变换，\(P\)称为把\(A\)变成\(B\)的相似变换矩阵
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相似矩阵的性质
如果\(A \sim B\)，则\(|A|=|B| \Rightarrow r(A)=r(B) \Rightarrow |A-\lambda E|=|B-\lambda E| \Rightarrow \lambda_A = \lambda_B \Rightarrow\)迹相等
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相似矩阵与特征值、特征向量的关系
（1）若\(n\)阶矩阵\(A\)与\(B\)相似，如果\(A \sim \Lambda, B \sim \Lambda\)，则\(p_1^{-1}Ap_1=p_2^{-1}Bp_2\)
（2）若\(n\)阶矩阵\(A\)与对角阵
\[\Lambda=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix} \]相似，因为\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)是\(\Lambda\)的特征值，则\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)即是\(A\)的\(n\)个特征值并且可逆阵\(P\)由特征向量组成即\(P=A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\)
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矩阵对角化
\(n\)阶矩阵\(A\)，求相似变换矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=\Lambda\)为对角阵，称为矩阵\(A\)的对角化
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矩阵对角化和矩阵秩的关系
如果\(n\)阶矩阵\(A\)可对角化，则有\(R(P^{-1}AP)=R(A)=R(\Lambda)\)，而\(\Lambda\)是\(A\)的\(n\)个特征值组成的对角阵，所以矩阵\(A\)的秩和非零特征值个数相等
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矩阵对角化的条件
（1）\(n\)阶矩阵\(A\)与对角阵相似（即\(A\)能对角化）的充分必要条件是\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量
（2）推论：如果\(n\)阶矩阵\(A\)的\(n\)个特征值互不相等，则\(A\)与对角阵相似
（3）\(n\)阶矩阵\(A\)的\(i\)重特征值\(\lambda_i\)有\(i\)个线性无关的特征向量，即\(n-R(\lambda_iE-A)=i\)
（4）\(n\)阶矩阵\(A\)是实对称阵，则\(A\)可对角化
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对称矩阵的对角化的性质
（1）对称阵的特征值为实数
（2）设\(\lambda_1,\lambda_2\)是对称阵\(A\)的两个特征值，\(p_1,p_2\)是对应的特征向量.若\(\lambda_1 \neq \lambda_2\)，则\(p_1\)与\(p_2\)正交
（3）设\(A\)为\(n\)阶对称阵，则必有正交阵\(P\)，使\(P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda\)，其中\(\Lambda\)是以\(A\)的\(n\)个特征值为对角元的对角阵，正交阵\(Q\)是\(A\)特征向量单位化，正交化后拼成的
（4）设\(A\)为\(n\)阶对称阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征方程的\(k\)重根，则矩阵\(A-\lambda E\)的秩\(R(A-\lambda E)=n-k\)，从而对应特征值\(\lambda\)恰有\(k\)个线性无关的特征向量
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对称矩阵的对角化的步骤
（1）求出\(A\)的全部互不相等的特征值\(\lambda_1,\cdots,\lambda_s\)，他们的重复次数依次为\(k_1,\cdots,k_s (k_1+\cdots+k_s=n)\)
（2）对每个\(k_i\)重特征值\(\lambda_i\)，求方程\((A-\lambda_iE)x=0\)的基础解系，得\(k_i\)个线性无关的特征向量。再把他们正交化、单位化，得\(k_i\)个两两正交的单位特征向量.因\(k_1+\cdots+k_s=n\)，故共得\(n\)个两两正交的单位特征向量
（3）把这\(n\)个两两正交的单位特征向量构成正交阵\(P\)，便有\(P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda\).其中\(\Lambda\)中对角元的排列次序应与\(P\)中列向量的排列次序相对应
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二次型及其标准型
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二次型的概念
含有\(n\)个变量\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的二次齐次函数
\[f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x^2_1+a_{22}x^2_2+\cdots+a_{nn}x^2_n+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n \]称为二次型
取\(a_{ij}=a_{ji}\)，则\(2a_{ij}x_ix_j=a_{ij}x_ix_j+a_{ji}x_jx_i\)从而有
\[\begin{align} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) &=a_{11}x^2_1+a_{12}x_1x_2+\cdots+a_{1n}x_1x_n+ \\ & a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{2n}x_2x_n+ \\ & \cdots\cdots \\ & a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+\cdots+a_{nn}x_n^2 \end{align} \] -
二次型的标准型
寻求可逆的线性变换
\[\begin{cases} x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n \\ x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_2+\cdots+c_{2n}y_n \\ \cdots\cdots \\ x_n=c_{n1}y_1+c_{n2}y_2+\cdots+c_{nn}y_n \end{cases} \]代入二次齐次函数，使\(f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+\cdots+k_ny_n^2\)，这种只含平方项的二次型称为二次型的标准型（或法式），如果\(k_1,k_2,\cdots,k_n\)只在\(1,-1,0\)三个数中取值，称为规范形
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二次型简写形式
\[\begin{align} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) &=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n\\ \vdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n\\ \end{pmatrix} \quad \\ &=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{align} \]则二次型可简写成\(f=x^TAx\)，其中\(A\)为对称阵
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二次型和矩阵的关系
任给一个二次型，就能唯一的确定一个对称阵，任给一个对称阵也能唯一的确定一个二次型.将对称阵\(A\)叫做二次型\(f\)的矩阵，\(f\)叫做矩阵\(A\)的二次型，对称阵\(A\)的秩就叫做二次型\(f\)的秩
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合同矩阵
（1）设\(A\)和\(B\)是\(n\)阶矩阵，若有可逆矩阵\(C\)，使\(B=C^TAC\)，则称矩阵\(A\)与\(B\)合同
（2）记\(C=(c_{ij})\)则\(x=Cy\)，有\(f=x^TAx=(Cy)^TACy=y^T(C^TAC)y\)
（3）若\(A\)为对称阵，则\(B^T=(C^TAC)^T=C^TA^TC=C^TAC=B\)，即\(B\)也为对称阵.因为\(C\)和\(C^T\)都是可逆的，所以\(R(A)=R(B)\)
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合同矩阵对角化
要使二次型\(f\)经可逆变换\(x=Cy\)变成标准形，即使
\[\begin{align} y^TC^TACy &=k_1y^2_1+k_2y_2^2+\cdots+k_ny_n^2\\ &=(y_1,y_2,\cdots,y_n) \begin{pmatrix} k_1 & & & \\ & k_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & k_n \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \end{align} \]也就是使\(C^TAC\)成为对角矩阵
任给二次形\(f=\sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j(a_{ij}=a{ji})\)，总有正交变换\(x=Py\)，使\(f\)化为标准形\(f=\lambda_1y^2_1+\lambda_2y^2_2+\cdots+\lambda_ny^2_n\)，其中\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)是\(f\)的矩阵\(A=(a_{ij})\)的特征值，并且\(P\)是特征向量
推论：任给\(n\)元二次型\(f(x)=x^TAx(A^T=A)\)，总有可逆变换\(x=Cz\)，使\(f(Cz)=\dfrac{\lambda_1}{|\lambda_1|}z^2_1+\cdots+\dfrac{\lambda_r}{|\lambda_r|}z^2_r\)为规范形
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用正交变换化二次型为标准形的步骤
首先根据给定的二次型写出对称阵\(A\)，然后求对称阵的特征值和特征向量，则标准形的系数为特征值，正交阵为特征向量正交化和单位化
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用配方法化二次型为标准形的步骤
（1）\(f\)中含变量\(x_1\)的平方项，则把含\(x_1\)的项归并起来，如：
\(f=x^2_1+2x^2_2+5x^2_3+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+2x^3)^2\)得\(y_1=x_1+x_2+x_3,y_2=x_2+2x_3,y_3=x_3\)
（2）\(f\)中不含平方项，如：
\(f=2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3\)，令\(x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2,x_3=y_3\)代入，得\(f=2(y_1-y_3)^2-2(y_2-2y_3)^2+6y_3^2\).令\(z_1=\sqrt{2}(y_1-y_3),z_2=\sqrt{2}(y_2-2y_3),z_3=\sqrt{6}(y_3)\)
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正定二次型
（1）惯性定理
设二次型\(f=x^TAx\)，它的秩为\(r\)，有两个可逆变换\(x=Cy\)及\(x=Pz\)，使\(f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+\cdots+k_ry_r^2 (k_i \neq 0)\)，\(f=\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\cdots+\lambda_rz_r^2 (\lambda_i \neq 0)\)，则\(k_1,\cdots,k_r\)中正数的个数与\(\lambda_1,\cdots,\lambda_r\)中正数的个数相等，此个数称为正惯性指数，相应的有负惯性指数
（2）正定二次型
设有二次型\(f(x)=x^TAx\)，如果对任何\(x \neq 0\)，都有\(f(x) \gt 0\)，则称\(f\)为正定二次型，并称对称阵\(A\)是正定的，如果对任何\(x \neq 0\)，都有\(f(x) \lt 0\)，则称\(f\)为负定二次型，并称对称阵\(A\)是负定的
（3）正定的充分必要条件
\(n\)元二次型\(f=x^TAx\)为正定的充分必要条件是：它的标准形的\(n\)个系数全为正，即他的规范形的\(n\)个系数全为\(1\)，亦即他的正惯性指数等于\(n\)
对称阵\(A\)为正定的充分必要条件是：\(A\)的特征值全为正
（4）正定的必要条件
主对角线元素\(a_{ii}>0\)，矩阵的行列式\(|A| \gt 0\)
（5）赫尔维茨定理
对称阵\(A\)为正定的充分必要条件是：\(A\)的各阶主子式都为正，即
\[a_{11} \gt 0, \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} \gt 0, \cdots, \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \gt 0 \]对称阵\(A\)为负定的充分必要条件是：\(A\)的奇数阶主子式都为负，偶数阶主子式都为正，即
\[(-1)^r\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{rr} \\ \end{vmatrix} \gt 0 (r=1,2,\cdots,n) \] -
合同，相似，等价，特征值之间的关系
等价指的是两个矩阵的秩一样
合同指的是两个矩阵的正定性一样,也就是说,两个矩阵对应的特征值符号一样
相似是指两个矩阵特征值一样.
相似必合同,合同必等价.
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正定的其他结论
\(A\)正定，则\(A^T,A^*,A^{-1},A^k,kA(k \gt 0)\)正定，并且他们之间的正系数线性组合正定
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