2024 Oct

Question 1. [Usaco2004 Dec] Fence Obstacle Course

给定 $n$ 个栅栏，第 $i$ 个栅栏的范围是 $([L_i,R_i],i)$，初始 Bessie 位于 $(S,n+1)$ 处，不能从中间跨过栅栏，但是端点处可以，问到达 $(0,0)$ 的横向移动距离最小值。

$n\le 5\times {10}^4,-{10}^5\le L_i<R_i\le {10}^5,-{10}^5\le S\le {10}^5$。

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想一下就会发现这不是什么维护类问题，例如维护到达某一行某个特定列坐标的最短距离，考虑 DP。

设 $f_{i,0/1}$ 表示到达第 $i$ 个栅栏左/右端点的最小横向移动距离。

然后就可以 $\mathcal{O}(n^2)$ 转移，而显然一个端点往下走一定是能往下就往下，线段树预处理 $p_i,q_i$ 表示左右端点不断下落后第一个阻挡的栅栏的编号。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(n{\log }_{2}n)$。

Question 2. [ZJOI2010] 基站选址

有 $n$ 个村庄在一条路上顺次排列，第 $i$ 个村庄的坐标是 $D_i$，在第 $i$ 个村庄建立基站的代价是 $C_i$，你仅可以在村庄建立基站，第 $i$ 个村庄有信号当且仅当距离不超过 $S_i$ 的位置有基站，否则你需要赔偿 $W_i$ 元。

你最多建立 $k$ 个基站，试求出最小花费。

$k\le min(n,100),n\le 2\times {10}^4,D_i<D_{i+1}$

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比较难以 DP，毕竟有这么多的参数，而且信号感应范围左边、右边均可。

设 $f_{i,j}$ 表示在第 $i$ 个村庄建立第 $j$ 个基站，且不管后面的基站如何，则转移显然是 $f_{i,j}=\underset{k<i}{min}{f}_{k,j-1}+c(k,i)+C_i$ 形式，其中 $j$ 可以省略，转移 $k$ 次即可，时间复杂度为 $\mathcal{O}(n^{2}k)$。

问题在于这个 $c(k,i)$ 形式，考虑如何进行维护。

我们求出对于每一个村庄而言，其感应范围内最左边、最右边的村庄，记为 $L_i,R_i$，考虑如果当前位置是 $p$，将要进行 $p+1$ 的转移，对于所有 $R_i=p$ 的村庄，如果上一次建设的基站在 $[1,L_i)$ 则额外增加 $W_i$ 的代价，这一点用线段树区间加+区间最小值即可维护。

最后，我们可以向最后添加一个坐标极大、代价为 $0$ 的村庄，并将 $k\leftarrow k+1$，这样我们会钦定最后一个必选，从而忽视掉我们的状态所带来的不足之处。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(nk{\log }_{2}n)$。

Question 3. [CF EDU171] E. Best Subsequence

给定 $n$ 个非负整数 $a_i$，从中选出一些数字，最大化选出的数字数量减去选出的数字的按位或的 $\text{popcount}$ 的结果。

$T\le 100,n\le 100,a_i<2^{60}$

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该问题等价于有若干个集合 $S_i$，最大化选出的集合数量减去集合的并集大小。

考察最大权闭合子图模型，先钦定选出所有集合获得收益 $n$，并按照如下方式建图：

• 超源 $S$ 向每个权值连边，容量为 $1$，割此边表示选择这个数字。
• 每个集合向超汇 $T$ 连边，容量为 $1$，割此边表示抛弃这个集合。
• 每个权值向拥有这个权值的集合连边，容量为正无穷，描述一条限制，要求要么选择对应的数字，要么抛弃对应的集合。

跑出最小割，可以求出满足题意需要扣除的最小代价。

Question 4. 「JOISC 2018 Day 3」Bitaro's Party

给定一张 DAG，保证 $1\sim n$ 是拓扑序，共 $n$ 个点 $m$ 条边，有 $q$ 个询问，每个询问指定一些点 $P_1,\cdots ,P_{l_i}$，询问所有非指定的点且能够到达该点的所有点中，到达该点的最长路。

$n,q,\sum l_i\le {10}^5,m\le 2\times {10}^5$

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考虑一种显然的暴力：每次 DP 求最长路，时间复杂度为单轮 $\mathcal{O}(n+m)$。

假设每次 $l_i\le 1$，我们能否做到询问 $\mathcal{O}(1)$ 解决？

答案是可以，我们可以对每个点求出最远的 $2$ 个点，然后就可以单组询问 $\mathcal{O}(1)$ 做了。

考虑综合一下，设立阈值 $B$，对于 $l_i\ge B$ 的我们每次暴力做，对于 $l_i<B$ 的我们对每个点求出最远的 $B$ 个点。

时间复杂度？

• 预处理：时间复杂度为 $\mathcal{O}(mB)$。
• 询问，设 $S=\sum l_i$：
  • 对于 $l_i\ge B$ 的，时间复杂度为 $\mathcal{O}({\displaystyle \frac{(n+m)S}{B}})$。
  • 对于 $l_i<B$ 的，时间复杂度为 $\mathcal{O}(B)$。

直接设 $B=\sqrt{{\displaystyle \frac{S}{2}}}$ 即可。

ARC186

待补充。

JOI 2018 Final

LOJ2347 寒冬暖炉

有 $N$ 个客人将会依次来访，第 $i$ 个客人的到达时间是 $T_i$，离开时间是 $T_i+1$。

Suzune 家中有一个暖炉，而 Kaho 在家中翻出了 $K$ 根火柴。

当有客人在家中时，暖炉必须保持开启，其余时刻你可以选择熄灭暖炉，每次点燃暖炉需要花费 $1$ 根火柴。

请问暖炉保持开启的总时长最短是多少？

$1\le K\le N\le {10}^5,T_i\le {10}^9,T_i<T_{i+1}$

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考察客人来访之间的空隙时间 $[T_i+1,T_{i+1})$，这些空隙时间可以选择熄灭暖炉，在 $N-1$ 个空隙时间中可以选择 $K-1$ 个空隙时间熄灭（因为第一个客人来时必须花费 $1$ 根火柴点暖炉）。

贪心的，选择 $K-1$ 个最长的空隙时间即可，在 $[T_1,T_N+1)$ 的总时间中减去这些空隙时间的总和，即可求得最短开启总时长。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(N{\log }_{2}N)$。

LOJ2348 美术展览

有 $N$ 件美术品，第 $i$ 件美术品的尺寸是 $A_i$，美观度是 $B_i$，作为美术馆展览负责人的你可以自由选择一些美术品进行展览。

令选出展览的美术品的美观度之和为 $S$，尺寸的最大值分别为 $A_{max},A_{min}$，试求 $S-(A_{max}-A_{min})$ 的最大可能值。

$N\le 5\times {10}^5,1\le B_i\le {10}^9,1\le A_i\le {10}^{15}$

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首先按照 $A$ 升序排序所有美术品，记选出的最小尺寸与最大尺寸的美术品在排序后分别位于第 $p$ 个和第 $q$ 个。

那么，将排序后的 $[p+1,q-1]$ 内的美术品全部选中显然不劣，因为此时只会增加 $S$。

不妨记排序后的美观度前缀和为 $C$，则选择 $p,q$ 的答案就会是 $B_q-B_{p-1}-(A_q-A_p)$，枚举即可做到时间复杂度 $\mathcal{O}(N^2)$。

拆个括号可以得到 $(B_q-A_q)-(B_{p-1}-A_p)$，扫描 $q$，记 $B_{p-1}-A_p$ 的前缀最小值，更新答案即可。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(N{\log }_{2}N)$。

LOJ2349 团子制作

有 $N\times M$ 个 Dango 被排布成 $N$ 行 $M$ 列，第 $i$ 行第 $j$ 列的 Dango 的颜色为 $C_{i,j}$，仅可能为红色、绿色、白色中的一种。

作为 Best Dango Maker 的你将会使用这些 Dango 做成 Dango 串，每一串 Dango 可以选择从左到右的连续三个 Dango，或者从上到下的连续三个 Dango，并且按照所述顺序必须是红色、绿色、白色顺次排列。

每个 Dango 最多只能被加入至一串 Dango，请问你最多能够做出多少个 Dango 串？

$N,M\le 3\times {10}^3$

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首先红色和白色的影响是后两列或前两列，而绿色的影响是前后左右各一列，更好分析，接下来按照绿色进行分析。

一个绿色 Dango 如果被横向选中，那么，其左下方一个绿色 Dango 不能竖向选中，其右上方一个绿色 Dango 同理。

也就是说，绿色 Dango 之间的阻碍关系是右上-左下方向的，每一条这样的线分别 DP 即可，将这样在同一条线上的 Dango 按照顺序提取出来，假设有 $n$ 个。

记 $f_{i,0/1/2}$ 分别表示考虑到第 $i$ 个，当前这一个是不选/横向选中/竖向选中，那么转移为：

$$\begin{array}{rl}{f}_{i,0}& =max(\{f_{i-1,0},f_{i-1,1},f_{i-1,2}\})\\ f_{i,1}& =max(f_{i-1,0},f_{i-1,1})+r(i)\\ f_{i,2}& =max(f_{i-1,0},f_{i-1,2})+c(i)\end{array}$$

其中 $r(i),c(i)$ 分别表示该 Dango 能否横向选中/竖向选中。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(NM)$。

LOJ2350 月票购买

给定一张城际轨道交通网络 $G$，共计 $N$ 个城市，$M$ 条铁路，每一条铁路有费用 $C_i$，给出两个点对 $(S,T),(U,V)$。

Kaho 有两趟频繁的交通需求：$S\to T,U\to V$，为了去和 Suzune 一起玩，以及去游乐场 Happy，她将会购买一张 $S\to T$ 的月票，这可以让一条指定的 $S\to T$ 的最小费用线路的所有铁路的费用变为 $0$，其余不变。

现在你需要帮助 Kaho 选择合适的最短线路，以最小化 $U\to V$ 的最小乘车费用。

$N\le {10}^5,M\le 2\times {10}^5,(S,T)\ne (U,V)$

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假设 $U\to V$ 的最短路是 $U\to A\to B\to C\to D\to V$ 的形式，且 $A\to B,C\to D$ 在 $S\to T$ 的某最短路上而 $B\to C$ 不在，那么显然是不可能的，因为 $S\to T$ 也可以同样的更改 $B\to C$ 段使得费用更小。

所以一定是 $U\to A\to B\to V$ 的形式，且 $A\to B$ 在 $S\to T$ 的最短路上。

其次，在 $S\to T$ 的所有可行最短路上的所有边构成 DAG，设 $U\to x$ 的最短路是 $v_1(x)$，而 $x\to V$ 的最短路是 $v_2(x)$，也就是要选出 DAG 上一对可达点对 $x,y$ 最小化 $v_1(x)+v_2(y)$，这可以简单 DP，设 $f_v$ 表示 $v$ 所有可达点的 $v_2$ 的最小值，转移考虑枚举直接后继点转移。

当然，$U\to V$ 的方向可能是 $T\to S$ 方向，做两遍即可。

如何判断 $(u,v,w)$ 在不在 $S\to T$ 的最短路上呢？判断 $dis(S,u)+w+dis(v,T)=dis(S,T)$ 是否成立即可。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(M{\log }_{2}M+N)$。

LOJ2351 毒蛇越狱

有 $2^L$ 条毒蛇，编号分别为 $0\sim 2^L-1$，在二进制下补全到 $L$ 位，从高位往低位的第 $i$ 位，若为 $1$ 则表示第 $i$ 段是红色，否则为蓝色，编号为 $i$ 的毒蛇的毒性是 $A_i$。

现在有 $Q$ 个询问，每个询问给出一个字符串 $T$，对于每一段，可能要求是红色/蓝色/不确定，对所有满足条件的毒蛇，求其毒性的和。

$L\le 20,Q\le {10}^6$，内存限制为 $\mathtt{\text{64MiB}}$。

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设要求为蓝色的段数为 $a$，要求为红色的段数为 $b$，要求为不确定的段数为 $c$，考察三个做法：

• 枚举每一个不确定的段填入的数字 $0/1$，时间复杂度为 $\mathcal{O}(2^{c}c)$。
• 枚举每一个为 $0$ 的位，将其换成 $1$ 或不确定，此时可以用高维后缀和预处理求出可能的状态的毒性的总和，然后容斥出答案，时间复杂度为 $\mathcal{O}(2^{a}a)$。
• 枚举每一个为 $1$ 的位，将其换成 $0$ 或不确定，此时可以用高维前缀和预处理求出可能的状态的毒性的总和，然后容斥出答案，时间复杂度为 $\mathcal{O}(2^{b}b)$。

具体如何容斥，举个例子，设 $4$ 位要求分别是 $\mathtt{\text{00?1}}$，考虑枚举所有 $0$ 的更改状况：$\mathtt{\text{???1}},\mathtt{\text{?1?1}},\mathtt{\text{1??1}},\mathtt{\text{11?1}}$，其所对应的总和分别包括：

• $v(\mathtt{\text{???1}})=v(\mathtt{\text{00?1}})+v(\mathtt{\text{01?1}})+v(\mathtt{\text{10?1}})+v(\mathtt{\text{11?1}})$
• $v(\mathtt{\text{?1?1}})=v(\mathtt{\text{01?1}})+v(\mathtt{\text{11?1}})$
• $v(\mathtt{\text{1??1}})=v(\mathtt{\text{10?1}})+v(\mathtt{\text{11?1}})$
• $v(\mathtt{\text{11?1}})=v(\mathtt{\text{11?1}})$

上述式子依次编号为 $1,2,3,4$，则 $v(\mathtt{\text{00?1}})$ 可以等价于 $1$ 式减 $2$ 式减 $3$ 式加 $4$ 式，类比可求得其余情况。

由于 $a+b+c=L$，故 $T=min(\{a,b,c\})\le \lfloor {\displaystyle \frac{L}{3}}\rfloor \le 6$，时间复杂度为 $\mathcal{O}(Q{2}^T+2^{L}L)$，空间复杂度为 $\mathcal{O}(2^L)$。