2024 Aug

ABC366

[Problem A] Election 2

有 $N$ 个人投票选举，两位候选人 Takahashi 与 Aoki 分别获得 $T$ 票与 $A$ 票，请问此时能否确定谁将赢得选举？

$0\le T,A,T+A\le N\le 99$，且 $N$ 为奇数。

---

设 $M={\displaystyle \frac{N+1}{2}}$，则判断 $T,A$ 是否有一个大于等于 $M$ 即可。

[Problem B] Vertical Writing

给定 $N$ 个字符串 $S_i$，所有字符串用 * 补齐到最长长度，你需要将现在形成的字符矩阵顺时针旋转 $90\text{degree}$，并删掉旋转后字符矩阵每一行末尾连续的 *，请问旋转结果？

$N,|S_i|\le 100$

---

直接求出最长长度，然后下标从 $N$ 到 $1$ 扫字符串判断这一位填什么就可以了。

最后用 popback 去一下 *。

[Problem C] Balls and Bag Query

给定一个袋子，维护 $Q$ 个操作，分为如下三种：

• 1 x，表示往袋子中加入一个编号为 $x$ 的球。
• 2 x，表示从袋子中丢掉一个编号为 $x$ 的球，保证有这么一个球。
• 3，表示询问袋中的球的编号种类数量。

$Q\le 2\times {10}^5,1\le x\le {10}^6$

---

经典题，set 维护答案，直接开个变量也可以，map 维护某个球的数量，直接开个桶也可以，毕竟值域不大。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(Q)$ 或 $\mathcal{O}(Q{\log }_{2}Q)$。

---

[Problem D] Cuboid Sum Query

给定一个三维数组 $A_{i,j,k}(1\le i,j,k\le N)$，给定 $Q$ 个询问，每次询问给出 $(lx,rx,ly,ry,lz,rz)$，求所有满足 $lx\le x\le rx,ly\le y\le ry,lz\le z\le rz$ 的 $A_{x,y,z}$ 的和。

$N\le 100,Q\le 2\times {10}^5,A_{i,j,k}\le 999$

---

经典三维前缀和 + 三维差分。

Show 一下我的代码：

sum[i][j][k]=sum[i-1][j][k]+sum[i][j-1][k]+sum[i][j][k-1]-sum[i-1][j-1][k]-sum[i-1][j][k-1]-sum[i][j-1][k-1]+sum[i-1][j-1][k-1]+a[i][j][k];
int ans=sum[rx][ry][rz]-sum[lx-1][ry][rz]-sum[rx][ly-1][rz]-sum[rx][ry][lz-1]+sum[lx-1][ly-1][rz]+sum[lx-1][ry][lz-1]+sum[rx][ly-1][lz-1]-sum[lx-1][ly-1][lz-1];

Haha，一发过。

[Problem E] Manhattan Multifocal Ellipse

给定平面上 $n$ 个点 $(x_i,y_i)$，求有多少个点 $(x,y)$ 满足该点距给定 $n$ 个点的曼哈顿距离和不超过 $D$。

$n\le 2\times {10}^5,-{10}^6\le x_i,y_i\le {10}^6$

---

直接枚举当 $x=i,y=i$ 时在对应坐标轴上距 $n$ 个点的距离，然后开个桶存一下，最后答案就是 $\sum _{0\le i\le D}b{x}_i\sum _{0\le j\le D-i}b{y}_j$，前缀和优化即可。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(n{\log }_{2}n+V)$。

[Problem F] Maximum Composition

给定 $n$ 个一次函数 $f_i(x)=a_{i}x+b_i$，求一个长度为 $k$ 的正整数序列 $p$，且 $p$ 中元素两两不同，使得 $f_{p_1}(f_{p_2}(\cdots f_{p_k}(1)\cdots ))$ 最大。

$k\le n\le 2\times {10}^5,k\le 10,1\le a_i,b_i\le 50$

---

首先不可能按照 $1\sim n$ 的顺序转移，这样不能保证两两不同。

能否找到一种顺序呢？答案是可以，我们用贪心可以证明：

$$a_i(a_j+b_j)+b_i>a_j(a_i+b_i)+b_j$$

相当于是：

$$a_i{b}_j+b_i>a_j{b}_i+b_j$$

也即：

$$(a_i-1)b_j>(a_j-1)b_i$$

也就是说你先采用的变换满足 $(a_j-1)b_i$ 尽量小，排序后 DP 即可。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(n{\log }_{2}n+nk)$。

[Problem G] XOR Neighbors

给定一张无重边无自环的 $n$ 个点 $m$ 条边无向图，求是否存在一组点权 $x_i$，满足对每一个点都有：该点的所有邻居（不含自己）的点权的异或为 $0$。

$n\le 60$，你的构造需要满足 $1\le x_i<2^{60}$。

---

如果不要求 $x_i>0$ 则可以用 $0/1$ 解来构造合法答案，问题是不能取 $0$。

但是我们发现，最多 $60$ 个元，但是我们可以有 $60$ 组方程组，首先按位考虑，我们可以对每一位都钦定某一个元，该元在该位上的值强制为 $1$，然后解方程组。

处理很简单，把与这个点 $u$ 相邻的点 $v$ 的方程组中，这个点 $u$ 的系数改为 $0$，然后要求答案为 $1$。

这个可以用高斯消元求出，如果某一次求出方程组无解则必定无解，否则因为每一个元都被钦定某个位为 $1$，此时显然满足点权限制。

时间复杂度为 $n$ 轮高斯消元，时间复杂度为 $\mathcal{O}(n^3+\frac{n^4}{\omega })$，前面的搞出方程组，后面是求解，然后你还会发现 $\omega >n$。