2024.4.6 - 4.12
Sat
JOI 2023 Final
宣传 2
\(n\) 个人，每个人有住所位置 \(X_i\) 与影响力 \(E_i\)，一个人 \(i\) 拿到书后会号召另一个人 \(j\) 买书仅当 \(|X_i-X_j|\leq E_i - E_j\)，你最少送多少个人书才能使得所有人都会有书（送的或者被号召买书）。
\(n\leq 5\times 10^5\)。
拆一下绝对值，得：
设每个人为点 \(P_i(E_i - X_i, E_i + X_i)\)，如果有一个点在另一个点左下角那么就会被号召。
按照 \(x\) 排序，单调栈算有几个点不被号召即可。
迷宫
给定一个 \(R\times C\) 的迷宫，每次操作可以选择一个 \(N\times N\) 的子矩阵并抹除该部分的所有障碍，求最少操作次数使得可以从起点到终点。
\(R\times C\leq 6\times 10^6, N\leq R\leq C\)。
首先显然要 01bfs，如果可以从路走就从路走。
考虑暴力更新，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(RCN^2)\)。
可以发现，每一个格子通过一次操作所得到的行动范围是一个 \((2N+1)\times (2N+1)\) 的矩形，挖掉四个角。如果终点不在内部，则需要跨出边界。
维护边界即可，暴力扫的时间复杂度为 \(\mathcal{O}(RCN)\)，此处 \(N\) 同阶于 \(\mathcal{O}(\sqrt{RC})\)。
拿一个并查集维护，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(RC\alpha(R))\)。
训猫
\(n\) 个点的树，每个节点有一个高度 \(P_i\)，构成全排列。
每一次你可以标记一个点，如果标记到猫所在的点，猫会到达【最高的】【可以不通过被标记的点到达的】点。
猫初始在高度为 \(n\) 的点，请问合理的标记顺序可以让猫最多走多远？
\(n\leq 2\times 10^5\)。
考虑 DP，发现每次删掉一个点后会到达一棵子树并且无法返回，记 \(f_u\) 表示猫在 \(u\) 点，最多可以走的距离，则显然从每个子树中编号最大的点 \(v\) 转移 \(f_v + dis(u,v)\)。
考虑按照高度从小到大枚举转移，直接用高度建边，并用并查集维护连通性即可。
现代机器
待补。
ABC348
A. 循环结构+分支结构。
B. 循环结构+分支结构+取max。
C. 按颜色排序可以处理。
D. bfs。
E. 换根DP。
F. bitset。
G. 分治问题，不会做。
Sun
最小路径覆盖问题
超源向出度连接，超汇向入度连接，走一条匹配边表示将该边加入路径集合。
考虑走向超汇之后继续从超源出发向对应点完成一条路径。
向入度连接，表示从该位置出发，如果从某点出发有代价需要以此方式连接，没有权值可以不按照此方式，但是会略显抽象。
餐巾计划问题中早上对应右部点（入度），晚上对应左部点（出度）。
修车
【SCOI2007】
\(m\) 个人修 \(n\) 辆车，每人一次只能修一辆车，每个人修每辆车有 \(T_{i,j}\) 的时间花费，求在合适的安排下，所有人等待的最短总时间。
\(m\leq 9, n\leq 60\)。
拆点，将每个人拆成 \(n\) 个状态，表示修了这么多车。
每个人的每个状态的容量是 \(1\)，可以向每辆车连，花费是 \(T_{i,j}\times k\)，此处 \(k\) 表示这是第 \(k\) 辆车。
每辆车的容量是 \(1\)，表示只被修一次。
无论你找出了什么贪心策略，最小费用最大流总是保证费用最优。
美食节
【NOI2012】
\(n\) 个菜品，第 \(i\) 个菜品的需求量为 \(p_i\)，以及 \(m\) 个厨师，每个厨师可以在同一时刻做一份单人分量的菜。
求所有人等待的最短总时间。
\(n\leq 40, m\leq 100, \sum p_i\leq 800\)。
问题很像修车，首先改掉每一道菜的容量。
然后发现边数巨大，需要动态加点，加边。
每增广一个厨师做一道菜后，再为这个厨师开一个新点继续跑最小费用最大流。
二分图再探
搭配飞行员
\(m\) 个正驾驶员和 \(n\) 个副驾驶员，已知一些飞行员组合（一正一副），求最多的飞行员组合，两组之间互不相交。
\(m+n\leq 100\)。
这是二分图，所以做二分图最大匹配。
Courses
【ZJU1140】
\(n\) 个学生修 \(m\) 门课，对于每门课你需要找出一个修该课的学生，请问是否存在一种方式使得：
- 每个学生最多被选出一次。
- 每门课都可以选出一个学生。
\(m\leq 100, n\leq 300\)。
二分图最大匹配判定。
Asteroids
【USACO05NOV Gold】
\(m\times m\) 二维平面上有 \(n\) 个陨石，每次你可以选择一条平行于坐标轴的直线并清除上面的所有陨石，请问最少操作次数。
\(m\leq 500\)。
横坐标为左部点，纵坐标为右部点，则最小点覆盖为所求。
舞会
【SHOI2002】
\(m\) 个男生与 \(n\) 个女生，其中若干对异性跳过交谊舞，现邀请一些学生，使得两两之间没有跳过舞，问最多邀请的学生数。
\(m+n\leq 1000\)。
男女生分别为左部点与右部点，则最大独立集为所求。
Place the Robots
【ZJU1654】
一个 \(n\times m\) 的地图中，有墙、草地、空地，只有空地可以放置机器人，【没有被墙隔开的】【位于相同行或列】的两个位置不能同时放机器人，问最多放多少机器人。
\(n,m\leq 50\)。
首先对每一行与每一列求出极长的不被墙阻隔的块，则：
行的极长块编号为左部点，列的极长块编号为右部点，则最大匹配为所求。
棋盘覆盖
给定一个带有障碍的 \(n\times n\) 的棋盘，请问最多用多少个 \(1\times 2\) 或 \(2\times 1\) 的骨牌覆盖。
\(n\leq 100\)。
将坐标 \((i,j)\) 按照 \(i+j\) 的奇偶性分类，奇数的为左部点，偶数的为右部点，则最大匹配为所求。
采集标本
给定一张 \(n\) 个点的 DAG，求该图的最小路径覆盖。
\(n\leq 200\)。
让 \(u\) 匹配 \(v\) 表示将 \(u\to v\) 加入路径集合中，则最大匹配表示最多的合并次数。
初始为 \(n\) 个单点构成 \(n\) 条路径，所以答案为 $n- $最大匹配。
线段相交
给定水平或垂直的 \(n\) 条线段，选出最多的线段，使得它们两两不交。
保证：两条水平的线段或者两条垂直的线段不会相交。
\(n\leq 2000\)。
水平线段为左部点，垂直线段为右部点，相交则连边，此图构成二分图。
则最大独立集为所求。
Machine Schedule
【ZJU1364】
两台机器分别有 \([0,n)\) 与 \([0,m)\) 的工作档，初始均为 \(0\) 档，有 \(k\) 个任务，每个任务要求用机器 A 的 \(x\) 档或机器 B 的 \(y\) 档完成，换挡则需要重启。
求最少换挡次数完成所有任务（可以不按顺序）。
\(n,m < 100, k < 1000\)。
\(x\to y\) 连边构成二分图（分别属于左部点与右部点），不考虑 \(0\) 号点，则最小点覆盖为所求。
Muddy Fields
【USACO05JAN Gold】
给定一个 \(n\times m\) 的地，某些地是草地，其它是泥沼，一块木板可以覆盖一行或者一列中连续的一部分，木板间可以重叠，求最少耗费的木板数量覆盖所有泥沼，不能覆盖草地。
\(n,m\leq 50\)。
首先对每一行与每一列求出极长的不被墙阻隔的块，则：
行的极长块编号为左部点，列的极长块编号为右部点，则最小点覆盖为所求。
Pair
【2017 山东一轮集训 Day2】
给定两个序列 \(a,b\)，长度分别为 \(n,m\)，对 \(a\) 中每一个长度为 \(m\) 的连续子序列 \(c\)，判断 \(c\) 与 \(b\) 是否匹配。
我们称两个长度相等的序列匹配，当且仅当两个序列中的元素可以两两配对，我们称两个数 \(x,y\) 配对，当且仅当 \(x+y\ge h\)，其中 \(h\) 为给定常数。
换句话说，称长度为 \(k\) 的两个序列 \(X,Y\) 匹配，当且仅当存在一个 \(k\) 的全排列 \(P\)，使得 \(\forall 1\leq l\leq k, X_l + Y_{P_l}\ge h\)。
\(m\leq n\leq 1.5\times 10^5\)。
若 \(X_i + Y_j\ge h\)，则称 \(i,j\) 之间有边，两个序列匹配仅当该二分图有完美匹配。
根据 Hall 定理，有 \(\forall S, |N(S)|\ge |S|\)。
对于每一个 \(a_i\)，可以很容易的求出有多少个 \(j\) 满足 \(a_i + b_j\ge h\)，后文称为匹配数量，这也是 \(N(\{i\})\) 的大小。
按照 \(a_i\) 升序考虑，则一段前缀的 \(a_i\) 匹配一段后缀的 \(b_i\)，要求：
- \(\forall 0\leq i\leq m\)，匹配数量不超过 \(i\) 的元素数量总和不超过 \(i\)。
不妨记 \(g_i\) 表示区间中匹配数量恰好为 \(i\) 的数的个数，则：
- \(\forall 0\leq i\leq m, \overset{i}{\underset{j=0}{\sum}} g_j \leq i\)，可以得到 \(\forall 0\leq i\leq m, \overset{i}{\underset{j=0}{\sum}} g_j-1 < 0\)。
线段树维护即可。
Mon
LYZ-Ice Skates
【POI2009】
\(n\) 种尺码的鞋子各 \(k\) 双，脚的大小为 \(x\) 的人可以穿尺码在 \([x,x+d]\) 范围内的鞋子，接下来 \(m\) 个操作，每个操作形如脚大小为 \(r\) 的人多了 \(y\) 个（\(y< 0\) 表示减少了 \(-y\) 个），请问每个操作后，是否每个人都能穿合适的鞋子。
脚大小在 \([l,r]\) 内的一些人构成的限制 \(|N(S)|\ge |S|\) 最为严格，记 \(g_i\) 表示当前脚大小为 \(i\) 的人的数量，考虑限制的表达式：
- \(\overset{r}{\underset{i=l}{\sum}} g_i\leq (r-l+1+d)k\)，可以得到 \(\overset{r}{\underset{i=l}{\sum}} g_i-k \leq dk\)。
这需要求出最大子序列之和，要求不大于 \(dk\)。
线段树维护即可。
毕业旅行
【Violet 4】
给定一张 DAG，要求选出最多数量的点，使得两两之间无法到达。
\(n\leq 200\)。
根据定义，即求最长反链。
相关表达式
对于二分图：
- 最大匹配 = 最小点覆盖
- 最大独立集 = \(n-\)最小点覆盖。
对于 DAG：
- 最小路径覆盖 = \(n-\)对应二分图的最大匹配。
- 最长反链 = 最小链覆盖 = \(n-\)传递闭包后对应二分图的最大匹配。
Trash
【ural1076】
\(n\) 个垃圾桶内有 \(n\) 种垃圾，第 \(i\) 个垃圾桶内有第 \(j\) 种垃圾共 \(a_{i,j}\) 的量，将一单位垃圾从一个垃圾桶放到另一个垃圾桶需要 \(1\) 的代价，求垃圾分类的最少代价。
\(n\leq 150\)。
最大权匹配表示最多可以保留多少的代价，则最小代价易求。
祭祀
【CTSC2008】
给定一张 DAG，求最长反链大小，并给出一组合法方案，判断每个点是否在某个最长反链上。
\(n\leq 100\)。
首先最长反链好求，判断每个点是否在某个最长反链上也好做，强制选定这个点判断最长反链大小是否减一。
如何给出合法方案？
考察转为二分图 \(H\) 后，跑出最大匹配，从左部点中一个未匹配点开始 dfs，取左部未被 dfs 的点、右部被 dfs 的点构成点集 \(S\)，则 \(S\) 是 \(H\) 的最小点覆盖。
证明：
- \(S\) 的大小等于最大匹配的大小。
- 在左侧选择的一定是匹配点，左侧的某个匹配点未被选中仅当匹配的右部点被选中，每条匹配上恰好会选中一个点，右侧的非匹配点不会被 dfs，否则与最大匹配矛盾。
- \(S\) 覆盖所有边。
- 考虑将边分成【左/右】部点【是/否】被 dfs 分成 \(4\) 类，若一条边没有被覆盖，仅当左端点被 dfs 到而右端点没有，而该情况不可能存在，矛盾。
\(S\) 的补集为一最大独立集，记为 \(I\)，记拆点后两端均在 \(H\) 中的点为 \(T\)，则 \(T\) 为最长反链。
证明：
- \(T\) 为一反链。
- 如果其中存在一对点 \(x\) 与 \(x'\)（一个点拆出来的）使得其不构成反链，仅当 \(x\) 与 \(x'\) 有边，这与 dfs 过程矛盾。
- \(T\) 是最长反链。
- \(|I| = 2n - |S|\)，且 \(I \setminus T\) 可以看作是 \(x\) 与 \(x'\) 恰有一端属于 \(I\)，那么有 \(|I\setminus T|\leq n\)，所以 \(|T|\ge n - |S|\)，且无法达到更大，故 \(T\) 是最长的。
于是选出左部点被选，右部点未选的点构成反链即可。
Tue
Soldier and Traveling
【CF546E】
\(n\) 个人，初始城市 \(i\) 有 \(a_i\) 人，要求变为 \(b_i\) 人，每座城市上的人最多走到相邻的城市，或者不走，请问是否能达成目标，并给出方案。
\(n\leq 100\)。
跑一遍最大流，有解要求所有与源点、汇点相连的边满流，方案看中间连的边。
Minimal k-covering
【CF976F】
给定一个二分图 \(G=(L,R,E)\)，记 \(D_{\min}\) 表示图中点度数的最小值，要求 \(\forall k\in [0,D_{\min}]\)，求出一个 \(E'\subseteq E\)，满足：
- 所有顶点都至少被 \(k\) 条边覆盖。
- \(|E'|\) 是最小的。
并输出方案。
\(|L|,|R|,|E|\leq 2000\)。
记每个点的度数是 \(d_i\)，至少被 \(k\) 条边覆盖等价于至多 \(d_i - k\) 条边不被选中，\(|E'|\) 是最小的等价于 \(|E\setminus E'|\) 最大，跑最大流，满流边表示不选。
Goods transportation
【CF724E】
\(n\) 座城市，每一座城市的产出为 \(p_i\)，销售上限是 \(s_i\)，对于所有 \(i < j\) 都有 \(i\to j\) 可以运送最多 \(c\) 的货物，可以沿着一些道路一路运送，问最多销售的货物数量。
\(n\leq 10^4\)。
考虑建立最大流，超源向每个点连容量是 \(p_i\)，超汇向每个点连容量是 \(s_i\)，每个点往后面的容量都是 \(c\)。
但是边数巨大，考虑模拟网络流。
根据最大流最小割定理，考虑计算最小割。
根据最小割的定义，记 \(S\) 表示选择割 \(p_i\) 的点的点集，则有：
如果选择对一个点同时割 \(p_i,s_i\)，那么可以发现这个 \(p_i\) 如割，不割只会使得代价减少，而割去的 \(c\) 边不变。
考虑 DP，记 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个点有 \(j\) 个不属于 \(S\)，则转移显然。
时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n^2)\)。
网络流相关
太空飞行计划
\(m\) 个实验以及 \(n\) 个仪器，每个仪器有花费，每个实验有收益以及依赖的仪器，求最大收益。
\(m,n\leq 50\)。
最大权闭合子图。
超源连实验，超汇连仪器，实验连依赖的仪器，割掉实验表示不做这个实验，割掉仪器表示购买这个仪器。
即可求出最小损失。
最大获利
【NOI2006】
\(n\) 个中转站，建造中转站 \(i\) 的花费是 \(a_i\)，\(m\) 个用户群，第 \(i\) 个用户群需要中转站 \(a_i,b_i\)，收益为 \(c_i\)，求最大收益。
\(n\leq 5000, m\leq 50000\)。
超源连用户群，用户群连所需中转站，中转站连汇点，割掉用户群表示不拿这个群的收益，割掉中转站表示建造该中转站。
即可求出最小损失。
电影迷
【TJOI2010】
\(n\) 场电影，看每场电影的体验值是 \(a_i\)（可正可负），\(m\) 条限制，每条限制声明如果看电影 \(a_i\) 而不看电影 \(b_i\)，则体验值减少 \(w_i\)，求最高体验值。
\(n\leq 100\)。
首先，电影连源点或汇点依赖于其体验值的正负性，正的连源点，负的连汇点，限制则从 \(a_i\) 向 \(b_i\) 连 \(w_i\)，割掉表示不满足该限制。
最小割求出最小损失。
Order
【CEOI2008】
\(n\) 个工作，\(m\) 个机器，每个工作有收益，并分为若干工序，每一个工序需要 \(a_i\) 机器，在该工序中租用该机器的花费是 \(b_i\)，买下一台机器 \(i\) 的花费是 \(c_i\)，求最大收益。
每台机器只要买下就可以在后面所有需要该机器的工序派上用场。
\(n,m\leq 1200\)。
超源连工作，超汇连机器，对于每一个工作，向对应的机器连租用费用的边，割掉表示租用。
即可求出最小损失。
最优标号
给定一张图 \(G\)，\(G\) 中每条边的权值是两端点点权的异或，已知其中部分点的点权，求最小边权和。
\(|V|\leq 500, |E|\leq 3000\)，已知点权小于 \(2^{31}\) 且非负。
根据位运算的性质，各位独立，我们可以对每一位分别求解。
也可以发现，如果一条边两端点点权都没有限制，那么这条边的权值可以为 \(0\)。
于是，每个已知点权的点都向源点、汇点连边，根据该点权在特定位上的值，向其中一边连权值为 \(0\) 的边，另一边权值为正无穷。
边的部分参考善意的投票，两边互连边权为 \(1\) 的边，表示其中一个端点要求另一个端点的位与自己一致。
求出最小割即可得到该位的 \(1\) 的最少数量，对每一位分别求解即可。
Network Wars
【ZOJ2676】
给定一张服务器通讯网，若干条光缆双向连接服务器，控制该光缆有成本，控制一些光缆使得服务器 \(1\) 到服务器 \(n\) 的所有可能的数据传输路线上都至少有一条光缆被控制，最小化控制的光缆平均成本，并给出方案。
\(n\leq 100\)。
01分数规划加最小割，假设当前要 check 的值是 \(v\)，一条光缆的成本变为 \(w - v\)，所有负价光缆应当全部选中，而正价光缆跑一遍最小割即可。
最终的方案就是最小割的方案加上所有负价光缆。
Hard Life
【NEERC2006】
给定 \(n\) 个人以及 \(m\) 条死对头关系，定义一种选人集合 \(S\) 的麻烦度为选人包含的死对头关系除以选择人数，求最大麻烦度时的最大选人数量。
\(n\leq 100, m\leq 1000\)。
考虑二分值 \(v\) 并 check，选择一个人的代价是 \(v\)，选择一对关系的收益是 \(1\)，考虑最大权闭合子图。
本题卡精度，设 eps 为 \(10^{-8}\) 可过，设为 \(0.1\) 也能过……
最终选择人数是残量网络上可达点。
Wed
Toy Machine
【CF1817D】
给定一张 \(2\times n\) 的网格图，保证 \(n\) 为奇数，其中 \((2,1),(2,n),(2,\frac{n+1}{2})\) 位置是障碍物。
有 \(n-2\) 个方块，第 \(i\) 个方块的位置是 \((1,i+1)\)。
你需要构建一个操作序列 \(S\)，包含字符 LDRU，对于一种操作，将网格图往此面倾斜，最终状态是重力影响下每个方块的最终位置。
目标：将原始状态下第 \(k\) 个方块移动到 \((1,1)\) 位置。
\(n\leq 10^5, k\leq n-2\)，要求 \(|S|\leq 10^6\)。
神奇构造题。
首先目标方块在正中间时是简单的，DL 搞定。
如果目标方块在左半部分（正中间也可以），发现 LDRU 可以将最左边的方块的编号加一。
初始第一个方块在左边，一次 LDRU 操作后就变成第二个方块在最左边，将目标方块移动到最左边后，接一个 L 完成。
如果目标方块在右半部分，我们可以类似的把目标方块移动到最右边，然后发现不断使用 RDRU 可以将所有方块集中在右半部分，然后进行多次 LDRU 操作就可以把目标方块移动到最左边，接一个 L 完成。
Binary Table
【CF662C】
给定一个 \(n\times m\) 的 \(01\) 网格图，每次可以取反一行或一列，求网格图上 \(1\) 的最少数量。
\(n\leq 20, m\leq 10^5\)。
一个非常暴力的算法：
枚举行的转换方式，然后对每一列决定取反还是不取反。
这启发我们对正解的思考。
考虑记 \(c_i\) 表示列状态为 \(i\) 的出现次数，记 \(m_i\) 表示状态为 \(i\) 时取反与不取反 \(1\) 数量的较小值。
那么，如果行的转换方式为 \(t\)，则答案的式子可以表示为 \(f_t = \overset{2^n-1}{\underset{i=0}{\sum}} c_i\times m_{i\oplus t}\)。
换句话说，有 \(f_i = \underset{j\oplus k = i}{\sum} c_j\times m_k\)，做 FWT 即可。
洪水
给定一棵 \(n\) 个节点的树，节点 \(1\) 为根，每个节点都有一个点权 \(w_i\)，给出 \(m\) 个操作，要么增加一个点的点权，要么给出子树的根 \(x\) 做以下问题：
- 选出一些节点，代价是所选点的点权总和，要求最小化代价且满足 \(x\) 【在不通过选中点的情况下】到达任意叶子节点。
\(n,m\leq 2\times 10^5\)。
考虑 DP，记 \(f_i\) 表示在以 \(i\) 为根的子树下通过选中节点使得 \(i\) 到所有叶子节点不连通的最小代价，有：
考虑树上 DDP，分离轻重儿子，记 \(g_i = \underset{j\in to_i \land j \ne h_i}{\sum} f_j\)，则对于所有非叶子节点有 \(f_i = \min(w_i, g_i + f_{h_i})\)，为了方便，对于所有叶子节点有 \(g_i = +\infty\)。
考虑矩阵转移式，定义广义矩阵乘法运算为 \((\min,+)\) 则有：
树剖维护即可。
Thur
KMP 相关
Oulipo & 子串查找
【POJ3461】
给定两个字符串 \(A,B\)，求 \(B\) 在 \(A\) 中的出现次数。
\(1\leq |B|\leq |A|\leq 10^6\)。
KMP 模板。
Power Strings
【POJ2406】
给定一个字符串 \(S\)，求 \(S\) 的最短完整循环节的出现次数。
\(1\leq |S|\leq 10^6\)。
首先，\(\text{nxt}_n\) 表示全串的最长真 Border 的长度，\(n-\text{nxt}_n\) 表示最长循环节长度。
如果不整除，则此时没有完整循环节，输出 1。
Period
给定一个字符串 \(S\)，对每个 \(S\) 的前缀 \(P_i\) 求最短完整循环节的出现次数，仅输出出现次数 \(>1\) 的。
\(1\leq |S|\leq 10^6\)。
套用上面的结论即可。
Milking Grid
【USACO2003】
给定一个字符矩阵 \(M\)，求 \(M\) 最短的循环子矩阵 \(N\)，即求出一个最小的子矩阵 \(N\)，使得这个子矩阵的无限复制扩张之后的矩阵包含 \(M\)。
\(1\leq R\leq 10^4, 1\leq C\leq 75\)。
类似的，我们对横向和竖向都做 KMP，并且令 \(\text{nxt}_i\) 表示到第 \(i\) 行/列的最长公共前后缀（为一个字符矩阵）。
两个维度是独立的，分别求出最小值然后乘一下。
Seek the Name, Seek the Fame
求 \(S\) 的所有 Border 的长度。
\(1\leq |S|\leq 10^6\)。
首先原串是其本身的 Border，然后找到其最长真 Border，这也是原串的 Border，该 Border 的最长真 Border 依旧是原串的 Border，也就是 \(\text{nxt}\) 树构成的一条从根到 \(n\) 号点的链，不断跳 \(\text{nxt}\) 即可。
String & 前缀和
求 \(S\) 的所有前缀在 \(S\) 中的出现次数。
\(1\leq |S|\leq 10^6\)。
根据 \(\text{nxt}\) 数组构造 \(\text{fail}\) 树，每一个节点都是原串的一个前缀，该前缀的出现次数就是以它为根的子树大小，倒序 DP 即可。
OKR-Periods of Words
【POI2006】
我们定义 \(Q\) 是 \(a\) 的周期仅当 \(Q\) 是 \(a\) 的真前缀且 \(a\) 是 \(Q+Q\) 的前缀，对 \(S\) 的每一个前缀求其最长周期的长度之和。
\(1\leq |S|\leq 10^6\)。
原题等价于求 \(S\) 的每一个前缀的最短 Border，记忆化跳 \(\text{nxt}\) 数组即可。
对于一个字符串 \(S\)，如果其有 Border，那么总是可以证明存在一个大小不大于其长度一半的 Border。
动物园
【NOI2014】
对 \(S\) 的每一个前缀求所有长度不大于其长度一半的 Border 的数量。
\(1\leq |S|\leq 10^6\)。
不考虑长度要求，我们可以在 KMP 的过程中递推每个前缀的 Border 数量。
再一次进行 KMP，此时直接求解题目所问的数量，如果长度超过其限制也跳 \(\text{nxt}\) 即可，为了让时间复杂度正确，对于前一个位置的指针位置保留到下一个指针。
时间复杂度为 \(\mathcal{O}(|S|)\)。
Censoring
【USACO2015Feb Silver】
给定两个字符串 \(S,T\)，每次删去 \(S\) 中最早出现的那个 \(T\)，然后把前后两段按照顺序视为新的 \(S\)，问最终的 \(S\)。
\(1\leq |T|\leq |S|\leq 10^6\)。
匹配的时候加一个栈，每次匹配成功后弹出栈最上方的 \(|T|\) 个元素，同时记录每个 \(S_i\) 的最大匹配位置是多少。
最终存储在栈内的元素按照自底向上的顺序即为最终的 \(S\)。
Prefixes and Suffixes
【CF432D】
求 \(S\) 的所有 Border 在 \(S\) 中的出现次数。
\(1\leq |S|\leq 10^5\)。
等价于，求 \(S\) 的所有 Border 套上每个前缀的出现次数。
似乎在梦中见过的样子
求 \(S\) 中所有可以以 \(A+B+A\) 的形式划分的子串的数量，其中 \(|A|\ge k, |B|\ge 1\)。
\(1\leq |S|\leq 1.5\times 10^4\)。
首先注意到有一个 \(A+B+A\) 的形式且 \(|A|\ge k\)，这说明 \(A\) 的长度严格小于其一半且尽量长，我们直接沿用【动物园】的做法，就可以对每一个前缀求出是否满足条件。
我们可以暴力枚举 \(S\) 的每一个后缀跑 KMP，即可求出答案。
时间复杂度为 \(\mathcal{O}(|S|^2)\)。
字符串大师
【Lydsy1708月赛】
给定一个长度为 \(n\) 的数组 \(p_i\)，存在一个字符串 \(S\) 满足 \(S\) 的长度为 \(i\) 的前缀的循环节长度为 \(p_i\)，请复原字典序最小的 \(S\)。
我们称 \(T\) 是 \(S\) 的循环节当且仅当 \(S\) 是 \(T\) 的无限复制串的前缀。
\(1\leq n\leq 10^5\)。
首先，\(\text{nxt}_i = i - p_i\)。
从前往后考虑，对于 \(\text{nxt}_i > 0\)，那么显然 \(S_i = S_{\text{nxt}_i}\)；反之，我们已知 \(S_i\) 将会与哪些位置进行匹配，我们要让 \(S_i\) 在这些位置全部失配，找出字典序最小且未在匹配位置出现的字符即可。
Fri
Z函数初探
Om Nom and Necklace
【CF526D】
给定一个长度为 \(n\) 的字符串 \(S\) 和正整数 \(k\)，求 \(S\) 的每一个前缀能否被写成 \(ABAB\cdots BA\) 的形式，其中 \(A\) 有 \(k+1\) 个，\(B\) 有 \(k\) 个。
你说得对，但是Om Nom可爱捏
首先跑 KMP 求出的 \(\text{nxt}_i\) 数组可以求最小循环节。
根据 KMP 的相关性质，我们可以求出 \(len\) 为最小循环节长度，\(num\) 表示最小循环节个数，\(rem\) 表示除去最小循环节剩余的部分。
同时，我们要至少分出 \(k\) 组 \(AB\)，记每一组由 \(sh\) 个最小循环节构成。
记 \(C\) 表示最短的循环节，则每一个前缀 \(P_i\) 要么形式为 \(CCCC\cdots CC\) 或 \(CCCC\cdots CCR\)。
而 \(AB\) 也需要成为循环节，那么 \(AB\) 肯定也是由若干个 \(C\) 组成，那么 \(A\) 包括若干个 \(C\) 和一个 \(C\) 的前缀，\(B\) 包括对应的后缀以及其余所有 \(C\)。
- 如果形式为 \(CCCC\cdots CCR\)，即 \(rem\ne 0\)。
- 显然 \(A\) 不为空，因为 \(R\ne C\)，所以 \(A\) 不对应 \(C\) 的完整前缀，所以 \(B\) 一定有 \(C\) 的一个后缀，则 \(B\) 不能为空，需要判断 \(B\) 不能为空。
- 那么，显然 \(A\) 中包含了 \(num - k\times sh = num \bmod k\) 个完整的 \(C\)，则要求 \(sh > num\bmod k\)。
- 如果形式为 \(CCCC\cdots CC\)，即 \(rem = 0\)。
- 如果 \(A,B\) 不为空，那么则将最后一个 \(C\) 视作 \(R\) 回到上一种情况。
- 如果 \(B\) 为空，此时就相当于视作可以 \(sh = num\bmod k\)。
- 如果 \(A\) 为空，此时依旧要求 \(sh > num \bmod k\)。
