洛谷P9035 Pont des souvenirs 题解

求有多少个长度为 $n$ 的序列 $a$ 满足如下所有约束：

• $1\le a_1\le a_2\le ...\le a_n\le k$。

• $\mathrm{\forall }i\ne j,a_i+a_j\le k+1$。

答案对 ${10}^9+7$ 取余。

70pts 做法

首先考虑到 $a_{n-1}$ 和 $a_n$ 两项是整个数列 $a$ 中的最大的两项，所以若 $a_{n-1}+a_n$ 不超过 $k+1$，则数列中任意两项之和肯定不超过 $k+1$。

考虑当 $a_{n-1}=x$ 时，首先可以计算出 $a_n$ 的取值范围：

• 因为 $a_{n-1}\le a_n$，故 $a_n\ge x$。

• 因为 $a_{n-1}+a_n\le k+1$，则 $a_n\le k+1-x$。

所以 $x\le a_n\le k+1-x$，取值数量为 $k+2-2x$，当 $x>k+1-x$ 时取值数量为 $0$。

考虑第一个约束，因为：

$$1\le a_1\le a_2\le ...\le a_{n-2}\le a_{n-1}$$

将不等式的每一个部分加上下标，为了方便，下式的表达式所加的下标从 $0$ 开始：

$$1\le a_1+0<a_2+1<...<a_{n-2}+n-3<x+n-2$$

所以 $a_{n-2}+n-3\le x+n-3$。

具体证明本蒟蒻不太会，建议查询相关资料。

于是我们可以得到 $a$ 数列的前 $n-2$ 项就是在 $[1,x+n-3]$ 范围中选择 $n-2$ 个数，方案数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+n-3}{n-2})$。

于是对于 $a_{n-1}=x$，方案数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+n-3}{n-2})\times max(k+2-2x,0)$。

累加所有的可能，答案为：

$$\stackrel{k+1}{\sum _{i=1}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+n-3}{n-2})\times max(k+2-2i,0)$$

100pts 做法

我们只需要化简如上求和式子即可，本蒟蒻不会等号对齐，故观感可能较差。

首先 $max(k+2-2i,0)$ 很难化简，于是我们需要求出 $i$ 的上界，解不等式可得 $\lfloor \frac{k+1}{2}\rfloor$，为了之后化简的方便，以下用 $m+1$ 代替该数字。

$$\stackrel{k+1}{\sum _{i=1}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+n-3}{n-2})\times max(k+2-2i,0)$$

化为：

$$\stackrel{m+1}{\sum _{i=1}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+n-3}{n-2})\times (k-2i)$$

运用乘法分配律得：

$$k\times \stackrel{m}{\sum _{i=0}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+n-2}{n-2})-2\times \stackrel{m}{\sum _{i=0}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+n-2}{n-2})\times i$$

由组合数公式，得：

$$k\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{n-1})-2\times \stackrel{m}{\sum _{i=0}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+n-2}{n-2})\times i$$

由于 $\times 0$ 无意义，故省去，得：

$$k\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{n-1})-2\times \stackrel{m}{\sum _{i=1}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+n-2}{n-2})\times i$$

变换形式，得：

$$k\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{n-1})-2\times \stackrel{m}{\sum _{i=1}}\stackrel{i}{\sum _{j=1}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+n-2}{n-2})$$

调换求和顺序，得：

$$k\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{n-1})-2\times \stackrel{m}{\sum _{j=1}}\stackrel{m}{\sum _{i=j}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+n-2}{n-2})$$

将第二个求和换成两式相减，得：

$$k\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{n-1})-2\times \stackrel{m}{\sum _{j=1}}(\stackrel{m}{\sum _{i=0}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+n-2}{n-2})-\stackrel{j-1}{\sum _{i=0}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+n-2}{n-2}))$$

运用组合数公式，得：

$$k\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{n-1})-2\times \stackrel{m}{\sum _{j=1}}((\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{n-1})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{j-1+n-1}{n-1}))$$

拆除一个括号，方便化简，得：

$$k\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{n-1})-2\times \stackrel{m}{\sum _{j=1}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{n-1})+2\times \stackrel{m}{\sum _{j=1}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j-1+n-1}{n-1})$$

化简第一个求和，得：

$$k\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{n-1})-2m\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{n-1})+2\times \stackrel{m}{\sum _{j=1}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j-1+n-1}{n-1})$$

降低求和范围，得：

$$(k-2m)\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{n-1})+2\times \stackrel{m-1}{\sum _{j=0}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j+n-1}{n-1})$$

运用组合数公式，得：

$$(k-2m)\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{n-1})+2\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{n})$$

至此，我们就化简完毕，可以预处理阶乘及其逆元，求组合数时 $\mathcal{O}(1)$ 求解。