矩阵的转置、求逆及分块

2.2 矩阵的转置、求逆及分块

2.2.1 转置矩阵

    如果将矩阵  的行和列在不改变各元素的排列次序的条件下进行对调,即行变为列,列变为行,作成一个新的矩阵,我们称这个新的矩阵为原矩阵A的转置矩阵,并用来表示,即: 
           
    在方阵中,各元素的数值和正负号,如果都沿其主对角线对称的话,则称为对称方阵,对称方阵具有: 的性质。
    如果矩阵A、B是可以相乘的,那么有:,即两矩阵之积的转置矩阵,等于这两个矩阵交换顺序后的转置矩阵的积。


【例2-5】   用矩阵来表示[PVV]。
【解】已知:,用矩阵运算法表示,可写为:
   
  若记:                              (2-11)
     则:                                                 (2-12)
    上式即为用矩阵表示的[PVV],式中为观测值权阵,为改正数阵(列矩阵),为V的转置矩阵(行矩阵)。
 

2.2.2 逆矩阵
    对于n阶方阵A,如果有一个同阶方阵B存在,使得:
                       AB=BA=E
则称B为A的逆矩阵,A的逆矩阵通常用来表示,即: 
         
方阵A存在逆矩阵的充分必要条件是它的行列式不等于零。
    如果A、B都是n阶方阵,并且它们的行列式都不等于零,则有:
                                                          (2-13)
即两个方阵之积的逆矩阵,等于这两个方阵交换顺序后的逆矩阵之积。

【例2-6】证明(2-13)式成立。
     【证明】以(AB)左乘(2-13)式,得:
                 
    因上式等号左端两矩阵的积等于E,即:;而等号右端也等于E,即:                    
    可见:

【例2-7】求 的逆阵。
    【解】首先算得,再根据行列式理论中计算代数余子式的方法,算出中各元素所对应的代数余子式,并写出A的伴随阵:
        
注:A*中的各元素为原阵A中的元素所对应的代数余子式。根据逆阵的计算公式

       
    我们可得所求的逆阵:

2.2.3 分块矩阵
    对于高阶矩阵的运算,可以用纵线与横线将其分裂成若干块低阶矩阵,分裂后的矩阵称为子块,分为子块的矩阵称为分块矩阵。
(1)分块矩阵的加法
    若有两个相同行数和列数的矩阵C、D,用同一方法分裂成行数和列数一致的分块矩阵,则分块矩阵C、D的相加,只要把它们的对应子块矩阵一一相加便是了。
(2)数与分块矩阵的乘法
    数与矩阵相乘的定义是:用数k右乘或左乘矩阵A,其积等于矩阵A的所有元素都乘以k。与此类似,数k与分块矩阵D相乘,就等于各子块矩阵均乘以k。
(3)分块矩阵的乘法
    设两可乘矩阵C、D已分裂成如下形式的分块矩阵,即: 
                  
    其中子块矩阵的列数等于的行数,则分块矩阵C、D的乘积为: 
                                       (2-14)
    其中:

转自:http://survey.01www.com/bxgc/article_show.asp?ArticleID=137

posted on 2012-03-15 15:45  鸳都学童  阅读(8184)  评论(0编辑  收藏  举报

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