矩阵的秩及矩阵的广义逆

2.4.1 矩阵的秩

1）定义

    在m×n矩阵中，任选r个行和r个列，将位于这r个行和r个行的交叉点上的个元素所构成的一个r阶行列式

                                    （2-38）

叫做A的一个r阶子式，显然。

    如果在m×n矩阵A中，有一个k阶子式不为零，而所有的（k＋1）阶子式都为零，则说A的秩等于k，记为。

    当A的秩等于m时，则称A为行满秩阵，显然有：；当A的秩等于n时，则称A为列满秩阵，显然有：。特别地，当A是n阶方阵时，如果，则称A为满秩方阵。

【例2-10】证明的秩。

【证】首先，在A中有一个二阶子式：；其次，经计算，A的任一个三阶子式皆为零，例如：。因此，根据定义得：。证毕。
2）性质
    矩阵的秩有以下几个性质：
    （1）设A为n×n矩阵，则的充要条件是：矩阵A的行列式不为零；
    （2）对任意矩阵A，其转置矩阵与A有相同的秩，即：＝；
    （3）矩阵B、C的秩，均不小于它们相乘所得的矩阵A＝BC的秩，即：，；
    （4）设A为m×n阵，如果P、Q分别为m阶、n阶的满秩方阵，则：，，这个性质表明，任何矩阵，经与一个满秩方阵相乘后，其秩不变。

2.4.2 广义逆矩阵
    如果矩阵不是方阵或方阵是奇异方阵，则对A的求逆就称为广义逆，通常称为g逆。为区别起见，我们称非奇异矩阵的逆阵为凯利逆。下面介绍广义逆矩阵的概念。
1）左逆（列满秩阵的逆）
    设误差方程为：                             （2-39）
    上式为矛盾方程组。当A的秩时，A为列满秩阵。令：
                                                   （2-40）
    式中称为列满秩阵A的左逆，它满足：
                                           （2-41）
    但是，，且为奇异阵，其行列式的值。
【例2-11】已知，求矩阵A的逆。
【解】因为R（A）＝2，故A为列满秩阵，由公式（2-40）得：

利用公式（2-41）进行验算：
    注意：，经计算，。
    左逆的一般表达式为：                    （2-42）
    其中，M为一个任意t阶满秩方阵。
    因此，列满秩阵A的逆不是唯一的。
    设：，接公式（2-42）计算例2-11中的A的左逆：

验算：
2）右逆（行满秩阵的逆）
    设条件方程为：

           （ r<n）                                  （ 2-43）                  上式为相容方程组，当系数阵A的秩R（A）＝时，A为行满秩阵。
    行满秩阵A的右逆为：                          （2-44）
    它满足：
                                         （2-45）
    右逆的一般表达式为：                （2-46）
    其中U为一个任意n阶方阵U，且
    因此，行满秩阵A的右逆也不是唯一的。
【例2-12】求矩阵的逆阵。
【解】因为R（A）＝2，则A为行满秩矩阵。由（2-44）式得：

验算：
设：，由（2-46）式得：
验算：
3）广义逆
    设矩阵的秩R（A）≤min（m，n），则A的逆为广义逆，通常称为g逆。它满足下列等式：
                                                      （2-47）
    凯利逆、左逆和右逆都能满足（2-47）式，因此，它们都是A的广义逆。A的广义逆不唯一，设是A的一个g逆，则A的g逆的一般表达式为：
                                  （2-48）
    式中U和V为任意n×m阶矩阵，矩阵G满足g逆的条件：


    g逆具有下列性质：
                                                  （2-49）
    当矩阵的秩R（A）<min（m，n）时，A为降秩矩阵。可用秩分解法，或降阶法求A的广义逆。
（1）秩分解法
    当矩阵的秩R（A）<min（m，n）时，可分解为一个列满秩矩阵B，与一个行满秩矩阵C的乘积，即：
                          t<min（m，n）                     （2-50）
    各矩阵的秩为：R（A）＝R（B）＝R（C）＝t。由（2-50）式可得A的逆为：
                                                         （2-51）
    按（2-47）式检验：

    按秩分解法求广义逆，先要将A分解成B和C。一般先选取列满秩矩阵B，设其逆为，则矩阵C可按照下式求得：
                                          （2-52）
【例2-13】应用秩分解法求矩阵的逆阵。
【解】经计算 R（A）＝2，取：，R（B）＝2，由（2-52）式得：

按（2-50）式进行验算：

由公式（2-51）得A的广义逆为：

验算：

（2）降阶法
    当为奇异方阵，秩亏数d＝t－R（A），例如：，R（A）＝2，则d＝1。秩亏d＝1，说明方阵A有一个行（或列）向量与其它两个行（或列）向量线性相关。因此可将方阵A删去某一行和相应的某一列降阶求逆，然后将删去的行和列以“0”补之，即得矩阵A的广义逆。如对矩阵A，如果删去第一行和第一列，则有：
              ，
    矩阵A的逆为：
验算：
    如果删去第二行第二列，或者删去第三行第三列，所得的各不相同，但都能满足公式（2-47），因此说明具有多个解，而不是唯一的。
4）广义逆
    前面所述的是一个重要的广义逆矩阵，它是存在的，但不是唯一的。如果作某些限制，可得到唯一的广义逆，通常称为伪逆。设有矩阵，如矩阵能满足下列四个条件，则称矩阵G为矩阵A的广义逆，即：
                                                    （2-53）
    当A为非奇异的方阵时，其逆能满足（2-53）式中的四个条件，故是A的广义逆。
    当A为列满秩阵时，其逆也能满足公式（2-53）中的四个条件，故是A的广义逆。
    当A为行满秩阵时，其逆也能满足（2-53）式中的四个条件，故是A的广义逆。
    当矩阵的秩R（A）<min（m，n）时，秩分解A＝BC，，而A的逆也能满足公式（2-53）中的四个条件，因此，也是A的广义逆。