矩阵微分

2.3 矩阵的微分

1) 定义
    设为一组自然变量（＝1，2，…，n）的函数，即：
                                                     （2-15）
    它的全微分为：
                                    （2-16）
    若定义：
                                                             （2-17）
                                             （2-18）
    则由矩阵的乘法规则可知，（2-16）式可以写成：
                             （2-19）
    上式即为一般函数的用矩阵表达的全微分式。
    现在根据上述一般函数的用矩阵表达的全微分定义式（2-19）式，进一步导出几种特殊函数的用矩阵表达的全微分公式。

2) 常值函数
    设有常值函数：＝C                                                    （2-20）
由（2-18）式和（2-19）式得：
              d＝0                                                        （2-21）

3) 线性函数
    设有线性函数：
                                                （2-22）
    其矩阵表达式为：                                             （2-24）
    全微分：                                                    （2-25）
    偏导数阵                                                      （2-26）
就是函数中的系数所构成的常数阵。
【例2-8】   设有函数：，其中、为常数阵，X为自变量阵，求。
【解】由（2-21）式、（2-25）式及（2-26）式得：
                ，

4）函数
        ，                                       （2-31）
    上式中的为F对（＝1，2，…，n）的偏导数阵。为F对（＝1，2，…，n）的偏导数阵。
5）函数
        ，                                        （2-34）
    上式中的、分别为F对Y及对X的偏导数阵。

6）函数
                                                             （2-37）
【例2-9】设有函数：，其中：

求F对的偏导数。
【解】取F的全微分得：
       ，即：
    将已知矩阵代入，得：

    取上列等式的转置矩阵，得：

于是得：