矩阵的转置、求逆及分块

2.2 矩阵的转置、求逆及分块

2.2.1 转置矩阵
    如果将矩阵的行和列在不改变各元素的排列次序的条件下进行对调，即行变为列，列变为行，作成一个新的矩阵，我们称这个新的矩阵为原矩阵A的转置矩阵，并用来表示，即：

    在方阵中，各元素的数值和正负号，如果都沿其主对角线对称的话，则称为对称方阵，对称方阵具有：＝的性质。
    如果矩阵A、B是可以相乘的，那么有：，即两矩阵之积的转置矩阵，等于这两个矩阵交换顺序后的转置矩阵的积。

【例2-5】   用矩阵来表示[PVV]。
【解】已知：，用矩阵运算法表示，可写为：

若记：                              （2-11）
    则：                                                 （2-12）
    上式即为用矩阵表示的[PVV]，式中为观测值权阵，为改正数阵（列矩阵），为V的转置矩阵（行矩阵）。

2.2.2 逆矩阵
    对于n阶方阵A，如果有一个同阶方阵B存在，使得：
                       AB＝BA＝E
则称B为A的逆矩阵，A的逆矩阵通常用来表示，即：

方阵A存在逆矩阵的充分必要条件是它的行列式不等于零。
    如果A、B都是n阶方阵，并且它们的行列式都不等于零，则有：
                                                          （2-13）
即两个方阵之积的逆矩阵，等于这两个方阵交换顺序后的逆矩阵之积。

【例2-6】证明（2-13）式成立。
     【证明】以（AB）左乘（2-13）式，得：

    因上式等号左端两矩阵的积等于E，即：；而等号右端也等于E,即：                     。
    可见：

【例2-7】求的逆阵。
    【解】首先算得，再根据行列式理论中计算代数余子式的方法，算出中各元素所对应的代数余子式，并写出A的伴随阵：

注：A*中的各元素为原阵A中的元素所对应的代数余子式。根据逆阵的计算公式

        ，
    我们可得所求的逆阵：

2.2.3 分块矩阵
    对于高阶矩阵的运算，可以用纵线与横线将其分裂成若干块低阶矩阵，分裂后的矩阵称为子块，分为子块的矩阵称为分块矩阵。
（1）分块矩阵的加法
    若有两个相同行数和列数的矩阵C、D，用同一方法分裂成行数和列数一致的分块矩阵，则分块矩阵C、D的相加，只要把它们的对应子块矩阵一一相加便是了。
（2）数与分块矩阵的乘法
    数与矩阵相乘的定义是：用数k右乘或左乘矩阵A，其积等于矩阵A的所有元素都乘以k。与此类似，数k与分块矩阵D相乘，就等于各子块矩阵均乘以k。
（3）分块矩阵的乘法
    设两可乘矩阵C、D已分裂成如下形式的分块矩阵，即：

    其中子块矩阵的列数等于的行数，则分块矩阵C、D的乘积为：
                                       （2-14）
    其中：。