矩阵的定义及其运算规则

2.1 矩阵的定义及其运算规则

2.1.1 矩阵的定义
    一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m ×n阵。
    矩阵通常是用大写字母A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：，或
。即：
                    （2-3）
    我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。
    当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（a_ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。

2.1.2 三角形矩阵
    由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。
    如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵：，，，。

2.1.3 单位矩阵与零矩阵
    在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如：

    则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即：

    当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。

2.1.4 矩阵的加法

    矩阵A＝（a_ij）_m_×_n和B＝（b_ij）_m_×_n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c_ij）_m_×_n表示矩阵A及B的和，则有：


式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。
    由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）：
    （1）交换律：A＋B＝B＋A
    （2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）

2.1.5 数与矩阵的乘法

    我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如：



    由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则：
    （1） k（A＋B）＝kA＋kB
    （2）（k＋h）A＝kA＋hA
    （3） k（hA）＝khA

2.1.6 矩阵的乘法

    若矩阵乘矩阵，则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。矩阵的元素的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第j列元素对应乘积的和。若：



    则矩阵的元素由定义知其计算公式为：
                         （2-4）

【例2-1】设有两矩阵为：，，试求该两矩阵的积。
     【解】由于A矩阵的列数等于B矩阵的行数，故可乘，其结果设为C：
其中：
【例2-2】已知：A＝，B＝，求A、B两个矩阵的积。
    【解】计算结果如下：矩阵的乘法具有下列性质：
    （1）通常矩阵的乘积是不可交换的。
    （2）矩阵的乘法是可结合的。
    （3）设A是m×n矩阵， B、C是两个n×t矩阵，则有：A（B＋C）＝AB＋AC。
    （4）设A是m×n矩阵，B是n×t矩阵。则对任意常数k有：k（AB）＝（kA）B＝A（kB）。

【例2-3】   用矩阵表示的某一组方程为：
                                         （2-5）
    式中：
                （2-6）
    试将矩阵公式展开，列出方程组。

    【解】现将（2-6）式代入（2-5）式得：

                                       （2-7）
将上式右边计算整理得：
                                           （2-8）
可得方程组：

     可见，上述方程组可以写成（2-5）式的矩阵形式。上述方程组就是测量平差中的误差方程组，故知（2-5）式即为误差方程组的矩阵表达式。式中称为改正数阵，称为误差方程组的系数阵，称为未知数阵，称为误差方程组的常数项阵。

【例2-4】设由n个观测值列出r个条件式如下，试用矩阵表示。

【解】现记：                 （2-9）
    则条件方程组可用矩阵表示成：
                                                                  （2-10）
上式中称为条件方程组的系数阵，称为改正数阵，称为条件方程组的闭合差列阵。