摘要： 题目：设$a,b,c\geq 0$, $ab+bc+ca=1$, 求证：$a\sqrt{1+a^2}+b\sqrt{1+b^2}+c\sqrt{1+c^2}\geq 2.$ 证明：作代换$a=\sqrt{\frac{yz}{(x+y+z)x}}$, $b=\sqrt{\frac{zx}{(x+y+z 阅读全文

摘要： 近日读单墫教授的《代数不等式的证明》一书，书中p.19单先生给出了如下的一个配方： $2(a^2+b^2)^2-6a^3b=(a^2-2ab)^2+(a^2-ab-b^2)^2+b^2(a-b)^2.$ 我觉得这个式子稍繁，给出下述的配方： $2(a^2+b^2)^2-6a^3b=2\left[\l 阅读全文

摘要： 题目 证明:对实数$x,y,z$有$16\sum{x^4}-20\sum{x^3(y+z)}+9\sum{y^2z^2}+25\sum{x^2yz}\geq 0$. 证明:$16\sum{x^4}-20\sum{x^3(y+z)}+9\sum{y^2z^2}+25\sum{x^2yz}=\frac{ 阅读全文

摘要： 问题 设$a,b,c>0, \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1$,求证: $(a^2-1)(b^2-1)+(b^2-1)(c^2-1)+(c^2-1)(a^2-1)\geq 27$. 证明: 令$\frac{1}{a+1}=x,\frac{1}{b 阅读全文

摘要： 问题 设$a,b,c\geq 0, a+b+c=2$, 求证: $\sum{\sqrt{a^3}(\sqrt{2b^3}+\sqrt{c^3})}\leq 3$. 证明:先证如下的不等式:当$x,y,z\geq 0$时,有$(\sum{x^2})^3\geq 8\sum{y^3z^3}$. (1) 阅读全文

摘要： 设$x,y,z$为正实数,且$x\geq y\geq z$, 求证: $\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq x^2+y^2+z^2$. 证明: 因为$x\geq y\geq z>0$,所以 $\frac{x^2y}{z}+\frac{y^ 阅读全文

摘要： 试题:设非负实数$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2\geq 3$.证明:$(a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca)$. 证明:设$t=ab+bc+ca>0$,则由题意 $(a+b+c)^6=(a^2+b^2+c^2+2t)^3\geq (3+2t)^3$, 而$(3+2t)^3-8 阅读全文

摘要： 设$x+y+z=0$,求证:$6(x^3+y^3+z^3)^2\leq (x^2+y^2+z^2)^3$.证明: 原不等式等价于$27x^2y^2(x+y)^2\leq 4(x^2+xy+y^2)^3$.即$4(x^2+xy+y^2)^3-27x^2y^2(x+y)^2\geq 0$.亦即$(x-y... 阅读全文

摘要： 近期宋庆老师在【不等式证明中的智巧,中学数学研究（江西）,2014年第4期,pp.42-44】中提出如下猜想:猜想1 已知 $a,b,c$ 是满足 $5a+12b+13c=60$ 的非负数, 求证:$5ab+12bc+13ca\leq 180.$证明: 由已知$180-(5ab+12bc+13ca)... 阅读全文

摘要： 刘老师在其博客(http://9sin9.blog.163.com/blog/static/5727175820092244554210/)中贴了如下有趣的不等式：设点 $P$为$\triangle{ABC}$内部任意一点，则成立不等式：$\frac{a^2R_{1}^2+b^2R_{2}^2+c^2R_{3}^2}{R_{1}R_{2}R_{3}}\geq 2(h_{a}+h_{b}+h_{c}).$等号当且仅当 $\triangle{ABC}$为正三角形且 $P$为其中心时成立。可他说他给出的证明很繁，计算量超大。 阅读全文