12 2020 档案
摘要：题目: 已知$a,b,c,d\in R$,求证:$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)(d^2+3)\geq 16(a+b+c+d)^2+(abcd-1)^2.$证明:因为$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)(d^2+3)-16(a+b+c+d)^2-(abcd-1)^2$$=3[(a
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摘要：题目:已知$a,b,c>0$,$abc=1$,求证:$\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\leq\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{a+b^2+c}+\frac{1}{a+b+c^2}\leq \frac{3}{a+b+c}.$证明:(I)先证明右边的不等式.由柯西不等式可
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摘要：题目:已知$a,b,c>0$,求证:$3\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}}+2\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 4.$证明:令$x=2\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$,则由$a,
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摘要：题目: 已知$a,b,c,d>0$,求证:$(a^3+3)(b^3+3)(c^3+3)(d^3+3)\geq 4(a+b+c+d)^3.$证明:在正实数$a,b,c$中,必有2个同时不小于1,或者不大于1,不妨设为$a,b$,则有$(a^3-1)(b^3-1)\geq 0$,即$a^3b^3\geq
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摘要：题目: 已知$a,b,c,d,e\in R$,求证:$(a^2+4)(b^2+4)(c^2+4)(d^2+4)(e^2+4)\geq 125(a+b+c+d+e)^2.$证明:先证明几个引理.引理1.当$x_{1}\geq 1,x_{2}\geq 1,x_{3}\geq 1,x_{4}\geq 1$
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摘要：题目:已知$a,b,c>0$,$a^2+b^2+c^2=3$,求证:$\frac{a}{1+2a^3}+\frac{b}{1+2b^3}+\frac{c}{1+2c^3}\leq \frac{a+b+c}{1+2abc}.$ 证明: 由已知及AM-GM不等式可得$3=a^2+b^2+c^2\geq
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摘要：题目:已知$a,b,c>0$,求证:$\frac{a^2}{1+2a^2b}+\frac{b^2}{1+2b^2c}+\frac{c^2}{1+2c^2a}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{1+2abc}.$证明:原不等式等价于$\frac{a^2(1+2a^2b)-2a^4b}{1+
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摘要：题目:已知$a,b>0$,$a+b=2$,求证: $\frac{a}{b+\sqrt{b^2+1}}+\frac{b}{a+\sqrt{a^2+1}}\geq 2(\sqrt{2}-1).$证明:由已知及基本不等式易得:$0<ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}=1,$ (1)又易知:$
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摘要：题目:已知$a,b>0$,$a+b=2$,求证: $(a+\sqrt{b^2+1})(b+\sqrt{a^2+1})\geq 3+2\sqrt{2}.$证明: 不妨设$a\geq b$,令$a=1+x,b=1-x(0\leq x<1$,则原不等式等价于$(1+x+\sqrt{(1-x)^2+1})(
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摘要：题目：已知$a,b,c,d>0$,$a^2+b^2+c^2+d^2=4$,求证:$(abc+bcd+cda+dab)(a+b+c+d)-10abcd\leq 6.$ 证明:原不等式等价于$(abc+bcd+cda+dab)(a+b+c+d)-10abcd\leq \frac{3}{8}(a^2+b^
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摘要：题目：已知$a,b,c,d>0$,求证:$(abc+bcd+cda+dab)(a+b+c+d)-4abcd\leq \frac{1}{8}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)(a+b+c+d)^2.$ 证明:原不等式等价于 $2\, \left( a-b \right) ^{2} \left( c
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摘要：题目:已知$a,b,c\geq 1$,求证:$1+\frac{2}{1+ab+bc+ca}\leq \frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\leq \frac{3}{2}$ 张云华老师指出该不等式右边有误.事实上,该不等式可以修正为 $1
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摘要：题目:已知$a,b,c>0$,$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$,求证：$\frac{8}{1+ab+bc+ca}-\frac{3}{a+b+c}\leq 1.$ 证明:由已知可设$a=\frac{x+y+z}{3x},b=\frac{x+y+z}{3y}
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摘要：题目:已知$a,b,c\geq 1$, 求证:$\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}\leq 1+\frac{2}{1+ab+bc+ca}.$ 证明:原不等式等价于 $2\,abc \left( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}-ab
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摘要：题目：已知$a,b,c>0$，求证：$\frac{ab}{1+\lambda a^2b}+\frac{bc}{1+\lambda b^2c}+\frac{ca}{1+\lambda c^2a}\leq \frac{ab+bc+ca}{1+\lambda abc}.$ 证明：由算术-几何平均不等式可得
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摘要：题目：已知$a,b,c>0$,求证：$\frac{a}{1+2b^2c}+\frac{b}{1+2c^2a}+\frac{c}{1+2a^2b}\geq \frac{a+b+c}{1+2abc}.$ 证明:由柯西不等式可得 $\frac{a}{1+2b^2c}+\frac{b}{1+2c^2a}+\
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