安振平老师的5934号不等式问题的证明

题目 若$a,b,c>0$,求证:$\frac{b^3}{a^2+2bc}+\frac{c^3}{b^2+2ca}+\frac{a^3}{c^2+2ab}\geq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}.$
证明: 由柯西不等式可得
$\frac{b^3}{a^2+2bc}+\frac{c^3}{b^2+2ca}+\frac{a^3}{c^2+2ab}=\frac{b^4}{a^2b+2b^2c}+\frac{c^4}{b^2c+2c^2a}+\frac{a^4}{c^2a+2a^2b}$
$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(a^2b+b^2c+c^2a)}.$　　　　　　　　　　 (1)
由不等式(1)知要证原不等式只要证
$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(a^2b+b^2c+c^2a)}\geq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)^2$
$\Leftrightarrow (a^6+2a^4c^2+2a^2b^2c^2+b^2c^4-6a^3bc^2)+(b^6+2a^2b^4+2a^2b^2c^2+a^4c^2-6a^2b^3c)$
$+(c^6+2b^2c^4+2a^2b^2c^2+a^2b^4-6ab^2c^3)\geq 0.$ 　　　　　　 (2)
由AM-GM不等式可得
$a^6+2a^4c^2+2a^2b^2c^2+b^2c^4\geq 6a^3bc^2,$　　　　　　　　 (3)
$b^6+2a^2b^4+2a^2b^2c^2+a^4c^2\geq 6a^2b^3c,$　　　　　　　　 (4)
$c^6+2b^2c^4+2a^2b^2c^2+a^2b^4\geq 6ab^2c^3.$ 　　　　　　　    (5)
由不等式(3)-(5)知不等式(2)成立,故不等式(2)成立,从而原不等式获证.