安振平老师的5911号不等式问题的证明

题目:已知$a,b,c>0$,$abc=1$,求证:$\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\leq\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{a+b^2+c}+\frac{1}{a+b+c^2}\leq \frac{3}{a+b+c}.$
证明:(I)先证明右边的不等式.
由柯西不等式可得
$(a^2+b+c)(1+b+c)\geq (a+b+c)^2.$
所以
$\frac{1}{(a^2+b+c)(1+b+c)}\leq \frac{1}{(a+b+c)^2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a^2+b+c}\leq \frac{1+b+c}{(a+b+c)^2}.$                                                (1)
同理
$\frac{1}{a+b^2+c}\leq \frac{a+1+c}{(a+b+c)^2},$                                                     (2)
$\frac{1}{a+b+c^2}\leq \frac{a+b+1}{(a+b+c)^2},$                                                     (3)
由不等式(1)-(3)可得
$\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{a+b^2+c}+\frac{1}{a+b+c^2}\leq \frac{3+2(a+b+c)}{(a+b+c)^2}.$               (4)
由不等式(4)可知要证右边的不等式只要证
$\frac{3+2(a+b+c)}{(a+b+c)^2} \leq\frac{3}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow a+b+c\geq 3.$                                                       (5)
由AM-GM不等式及$abc=1$可知不等式(5)成立,故右边的不等式成立.
(II)再证明左边的不等式.
先证明$a^2+b^2+c^2\geq a+b+c.$                                                                         (6)
由(I)知$a+b+c\geq 3$,                                                                                              (7)
不等式(7)结合$(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\geq 0$可得
$a^2+b^2+c^2\geq 2(a+b+c)-3=(a+b+c)+(a+b+c-3)\geq a+b+c.$
故不等式(6)成立.
由柯西不等式及不等式(6)可得
$\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{a+b^2+c}+\frac{1}{a+b+c^2}\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)}\geq \frac{3}{a^2+b^2+c^2}.$
故左边的不等式成立.
由(I)(II)知原不等式成立.