安振平老师的5904号不等式问题的证明

题目:已知$a,b>0$,$a+b=2$,求证: $\frac{a}{b+\sqrt{b^2+1}}+\frac{b}{a+\sqrt{a^2+1}}\geq 2(\sqrt{2}-1).$
证明:由已知及基本不等式易得:$0<ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}=1,$                       (1)
又易知:$a^2+1\geq \frac{1}{2}(a+1)^2,$                               (2)
$b^2+1\geq \frac{1}{2}(b+1)^2,$                                  (3)
由已知及不等式(1)-(3)可得
$\frac{a}{b+\sqrt{b^2+1}}+\frac{b}{a+\sqrt{a^2+1}}=a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{a^2+1}-2ab$
$\geq (\sqrt{2}-2)ab+\frac{\sqrt{2}}{2}(a+b)=(\sqrt{2}-2)ab+\sqrt{2}\geq 2(\sqrt{2}-1).$
故原不等式获证.