安振平老师的5903号不等式问题的证明

题目:已知$a,b>0$,$a+b=2$,求证: $(a+\sqrt{b^2+1})(b+\sqrt{a^2+1})\geq 3+2\sqrt{2}.$
证明: 不妨设$a\geq b$,令$a=1+x,b=1-x(0\leq x<1$,则原不等式等价于
$(1+x+\sqrt{(1-x)^2+1})(1-x+\sqrt{(1+x)^2+1})\geq 3+2\sqrt(2).$                                  (1)
令$f(x)=(1+x+\sqrt{(1-x)^2+1})(1-x+\sqrt{(1+x)^2+1}),x\in[0,1),$则
$f'(x)=\frac{8x^3}{\sqrt{x^4+4}(x^2+2+\sqrt{x^4+4})}+\frac{(x+1)^2}{\sqrt{(x+1)^2+1}}-\frac{(x+1)^2}{\sqrt{(x+1)^2+1}},$
又令$g(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}},x\in[0,+\infty),$则
$g'(x)=\frac{x+2}{2(1+x)\sqrt{1+x}}>0,$
于是$g(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增,所以$g((1+x)^2)\geq g((1-x)^2)$,即
$\frac{(x+1)^2}{\sqrt{(x+1)^2+1}}\geq\frac{(1-x)^2}{\sqrt{(1-x)^2+1}}.$                             (2)
由$0\leq x<1$及不等式(2)可知$f'(x)\geq 0$,于是$f(x)$在$[0,1)$上单调递增,从而$f(x)\geq f(0)=3+2\sqrt{2},$故不等式(1)成立,即原不等式成立.